Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）設(shè)（1）中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿(mǎn)足S_△PAB=8，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．

【分析】（1）由于拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，那么可以得到方程x²+bx+c=0的兩根為x=﹣1或x=3，然后利用根與系數(shù)即可確定b、c的值．

（2）根據(jù)S_△PAB=8，求得P的縱坐標(biāo)，把縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，

∴方程x²+bx+c=0的兩根為x=﹣1或x=3，

∴﹣1+3=﹣b，

﹣1×3=c，

∴b=﹣2，c=﹣3，

∴二次函數(shù)解析式是y=x²﹣2x﹣3．

（2）∵y=﹣x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，﹣4）．

（3）設(shè)P的縱坐標(biāo)為|y_P|，

∵S_△PAB=8，

∴AB•|y_P|=8，

∵AB=3+1=4，

∴|y_P|=4，

∴y_P=±4，

把y_P=4代入解析式得，4=x²﹣2x﹣3，

解得，x=1±2，

把y_P=﹣4代入解析式得，﹣4=x²﹣2x﹣3，

解得，x=1，

∴點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）時(shí)，滿(mǎn)足S_△PAB=8．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸點(diǎn)的坐標(biāo)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法得到關(guān)于b、c的方程，解方程即可解決問(wèn)題．