Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點坐標為(2，9)，與y軸交于點A(0，5)，與x軸交于點E，B.

（1）求二次函數y＝ax2＋bx＋c的解析式；
（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點(點P在AC上方)，作PD平行于y軸交AB于點D，問當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；
（3）若點M在拋物線上，點N在其對稱軸上，使得以A，E，N，M為頂點的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點M，N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線解析式為y=a +9，∵拋物線與y軸交于點A（0，5）， ∴4a+9=5，
∴a=﹣1， y=﹣ +9=- +4x+5
（2）解：當y=0時，- +4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），
設直線AB的解析式為y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，
∴直線AB的解析式為y=﹣x+5；設P（x，﹣ +4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），
∴PD=- +4x+5+x﹣5=- +5x， ∵AC=4， ∴S四邊形APCD= ×AC×PD=2（- +5x）=-2 +10x，
∴當x= 時， ∴S四邊形APCD最大= ，
（3）解：如圖，

過M作MH垂直于對稱軸，垂足為H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，
∴M點的橫坐標為x=3或x=1，當x=1時，M點縱坐標為8，當x=3時，M點縱坐標為8，
∴M點的坐標為M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直線AE解析式為y=5x+5，
∵MN∥AE，∴MN的解析式為y=5x+b，∵點N在拋物線對稱軸x=2上，∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2 ， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M點的坐標為M1（1，8）或M2（3，8）， ∴點M1 ， M2關于拋物線對稱軸x=2對稱，
∵點N在拋物線對稱軸上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7，
∴10+b=13或10+b=3 ∴當M點的坐標為（1，8）時，N點坐標為（2，13），
當M點的坐標為（3，8）時，N點坐標為（2，3）
【解析】（1）設出二次函數的頂點式y(tǒng)=a ( x 2 ) 2 +9，，把點A(0，5)代入解析式，即可求出解析式；（2）最值問題可利用函數思想解決，以P橫坐標為自變量x，四邊形APCD的面積為函數，構建關系式，配成頂點式，求出最大值;（3）可利用平行四邊形的性質，對邊平行且相等，即MN∥AE，MN=AE，△HMN≌△AOE，可求出MN 的解析式，利用兩點間距離公式建立方程，求出坐標.