Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AB=4，矩形OBDC的邊CD=1，延長(zhǎng)DC交拋物線于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)P是直線EO上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線EO于點(diǎn)G，作PH⊥EO，垂足為H．設(shè)PH的長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求l與m的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出m的取值范圍），并求出l的最大值；

（3）如果點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以M，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵矩形OBDC的邊CD=1，

∴OB=1，

∵AB=4，

∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2﹣ x+2；

（2）

解：在y=﹣ x2﹣ x+2中，令y=2可得2=﹣ x2﹣ x+2，解得x=0或x=﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直線OE解析式為y=﹣x，

由題意可得P（m，﹣ m2﹣ m+2），

∵PG∥y軸，

∴G（m，﹣m），

∵P在直線OE的上方，

∴PG=﹣ m2﹣ m+2﹣（﹣m）=﹣ m2﹣ m+2=﹣ （m+ ）2+ ，

∵直線OE解析式為y=﹣x，

∴∠PGH=∠COE=45°，

∴l(xiāng)= PG= [﹣ （m+ ）2+ ]=﹣ （m+ ）2+ ，

∴當(dāng)m=﹣ 時(shí)，l有最大值，最大值為 ；

（3）

解：①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，則有MN∥AC，且MN=AC，如圖，過(guò)M作對(duì)稱軸的垂線，垂足為F，設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)L，

則∠ALF=∠ACO=∠FNM，

在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS），

∴MF=AO=3，

∴點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離為3，

又y=﹣ x2﹣ x+2，

∴拋物線對(duì)稱軸為x=﹣1，

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣ ，當(dāng)x=﹣4時(shí)，y= ，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）；

②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，設(shè)AC的中點(diǎn)為K，

∵A（﹣3，0），C（0，2），

∴K（﹣ ，1），

∵點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為﹣1，

設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，

∴x+（﹣1）=2×（﹣ ）=﹣3，解得x=﹣2，此時(shí)y=2，

∴M（﹣2，2）；

綜上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）或（﹣2，2）．

【解析】（1）由條件可求得A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可先求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的長(zhǎng)，從而可表示出l的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；（3）分AC為邊和AC為對(duì)角線，當(dāng)AC為邊時(shí)，過(guò)M作對(duì)稱軸的垂線，垂足為F，則可證得△MFN≌△AOC，可求得M到對(duì)稱軸的距離，從而可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，設(shè)AC的中點(diǎn)為K，可求得K的橫坐標(biāo)，從而可求得M的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)．