Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P在射線BA上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P分別作PC⊥y軸于點(diǎn)C，PD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)四邊形PCOD的周長(zhǎng)為d，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)PD=$\frac{1}{2}$AB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫(xiě)出四邊形PCOD是正方形時(shí)m的值．

Answer 1

分析 （1）分別將x=0、y=0代入直線AB的解析式中求出相當(dāng)于的y、x的值，從而得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）找出點(diǎn)P、D的坐標(biāo)，根據(jù)PD=$\frac{1}{2}$AB找出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，將其代入點(diǎn)P的坐標(biāo)中即可；
（3）分點(diǎn)P在x軸的上方和x軸的下方兩種情況考慮，代入矩形的周長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)正方形的性質(zhì)找出關(guān)于m的方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得：x=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），即OA=4．
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），即OB=3，
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，
由勾股定理，得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-$\frac{3}{4}$m+3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0），
∵PD=$\frac{1}{2}$AB，
∴|-$\frac{3}{4}$m+3|=$\frac{5}{2}$，
解得：m=$\frac{2}{3}$或m=$\frac{22}{3}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{22}{3}$，-$\frac{5}{2}$）．
（3）當(dāng)0＜m＜4時(shí)，d=2（PC+PD）=2（-$\frac{3}{4}$m+3+m）=$\frac{1}{2}$m+6；
當(dāng)m＞4時(shí)，d=2（PC+PD）=2（$\frac{3}{4}$m-3+m）=$\frac{7}{2}$m-6．
（4）∵四邊形PCOD是正方形，
∴OD=PD，即m=|-$\frac{3}{4}$m+3|，
解得：m=$\frac{12}{7}$或m=-12（舍去）．
故當(dāng)四邊形PCOD是正方形時(shí)，m的值為$\frac{12}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理、解含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程以及矩形的周長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）由線段間的關(guān)系找出關(guān)于m的方程；（3）分情況考慮；（4）利用正方形的性質(zhì)找出關(guān)于m的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)線段間的關(guān)系找出含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程是關(guān)鍵．