Question

6．如圖，已知線段AB=4，O為AB的中點，P是平面內的-個動點，在運動過程中保持OP=1不變，連結BP，將PB繞點P逆時針旋轉90°到PC，連結BC、AC，則線段AC長的取值范圍是$\sqrt{2}$≤AC≤3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以O為坐標原點建立坐標系，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，過點P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點F，設點P的坐標為（x，y），則x²+y²=1．然后證明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性質得到EC=PF=y，F(xiàn)B=EP=2-x，從而得到點C（x+y，y+2-x），最后依據兩點間的距離公式可求得AC的范圍．

解答 解：如圖所示：過點C作CD⊥y軸，垂足為D，過點P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點F．

∵AB=4，O為AB的中點，
∴A（-2，0），B（2，0）．
設點P的坐標為（x，y），則x²+y²=1．
∵∠EPC+∠BPF=90°，∠EPC+∠ECP=90°，
∴∠ECP=∠FPB．
由旋轉的性質可知：PC=PB．
在△ECP和△FPB中$\left\{\begin{array}{l}{∠ECP=∠FPB}\\{∠PEC=∠PFB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△ECP≌△FPB．
∴EC=PF=y，F(xiàn)B=EP=2-x．
∴C（x+y，y+2-x）．
∵AB=4，O為AB的中點，
∴AC=$\sqrt{（x+y+2）^{2}+（y+2-x）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}+2{y}^{2}+8y+8}$．
∵x²+y²=1，
∴AC=$\sqrt{10-8y}$．
∵-1≤y≤1，
∴$\sqrt{2}$≤AC≤3$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$≤AC≤3$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查的是旋轉的性質、全等三角形的性質和判定，兩點間的距離公式的應用，列出AC的長度與點P的坐標之間的關系式是解題的關鍵．