Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD中，P為對(duì)角線AC上的任意一點(diǎn)，分別連接PB、PD，PE⊥PB，交CD與E，

（1）求證：PE=PD；

（2）當(dāng)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，求AP的長；

（3）設(shè)AP=x（），四邊形BPEC的面積為y，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）AP的長為；

（3）證明見解析.

【解析】作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得到PB=PD，PG=PH，證明△BPG≌△EPH，得到PB=PE，等量代換得到答案；

（2）證明∠DPH=∠EPH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出DH，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

（3）根據(jù)四邊形BPEC的面積=正方形PGCH的面積計(jì)算.

證明（1）過P作MN∥BC，分別交AB、CD與M、N點(diǎn)；

易證△ABP≌△ADP，∴PD=P

易證△MBP≌△NEP，∴PE=PB

即 PE=PD（2）解：由題意知DN=NE=

又AM=DN

∴AM=

在直角△AMP中，

AP=

（3）證明：當(dāng)AP=，則PM=,

設(shè)=△PBC的面積，=△PEC的面積，

則,

∴=

即=

“點(diǎn)睛”本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的四條邊相等、四個(gè)角都是90°、一條對(duì)角線平分一組對(duì)角是解題的關(guān)鍵.