如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交△ACB的外角∠ACD的平分線于點(diǎn)F.

(1)求證:OE=OF.

(2)若CE=12,CF=5,求OC的長(zhǎng).

(3)連接AE、AF,當(dāng)點(diǎn)O在AC邊上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AECF是矩形?并說(shuō)明理由.

答案:
解析:

  (1)證明:∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACD的平分線于點(diǎn)F,

  ∴∠2=∠5,4=∠6.

  ∵M(jìn)N∥BC,

  ∴∠1=∠5,3=∠6,

  ∴∠1=∠2,∠3=∠4,

  ∴EO=CO,F(xiàn)O=CO,

  ∴OE=OF.

  (2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6,

  ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°.

  ∵CE=12,CF=5,

  ∴,

  又∵O為EF的中點(diǎn),∴

  (3)解:當(dāng)點(diǎn)O在AC邊上運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.

  證明:當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí),AO=CO,

  又EO=FO,

  ∴四邊形AECF是平行四邊形.

  又∵∠ECF=90°,

  ∴平行四邊形AECF是矩形.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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ABCD中,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別是是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn),以圖1和圖2中的任意四點(diǎn)(即點(diǎn)A,B,C,D,E,F(xiàn),G,H,O中的任意四點(diǎn))為頂點(diǎn)畫兩種不同的平行四邊形.

第一種:

第二種:

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如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.DH⊥AB于點(diǎn)H,連接OH.求證:∠DHO=∠DCO.

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如圖,正方形ABCD中,M是AB的中點(diǎn),E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),MN⊥DM,且交∠CBE的平分線于點(diǎn)N.

(1)求證:MD=MN.

(2)若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M是AB上的任一點(diǎn)”,其他條件不變,則結(jié)論“MD=MN”還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AB=8,E是BC的中點(diǎn),則OE的長(zhǎng)等于________.

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如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,與DC交于點(diǎn)F,且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn),DG⊥AE,垂足為G,若DG=1,則AE的長(zhǎng)為

[  ]

A.

B.

C.

4

D.

8

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如圖,在ABCD中,E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn),AC分別交BE、DF于G、H,給出下列結(jié)論:

①△ABE≌△CDF;

②AG=GH=HC;

;

④S△ABE=2S△AGB.其中正確的結(jié)論有________個(gè).

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已知四邊形ABCD中,AD∥BC.要判定四邊形ABCD是平行四邊形,則還需滿足條件

[  ]

A.

∠A+∠C=180°

B.

∠B+∠D=180°

C.

∠B+∠A=180°

D.

∠A+∠D=180°

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某人欲橫渡一條河,由于水流的影響,實(shí)際上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)B相距50米,他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10米,求:該河的寬度AB為多少米?

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