Question

16．如圖，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點E是DC上一點，將∠D沿折痕AE折疊，使點D落在點D′處，當△AD′B為等腰三角形時，則DE的長為$\frac{5}{2}$或16-$\sqrt{231}$．

Answer 1

分析 ①當AD′=D′B=5時，過點D′作MN⊥AB于點N，根據(jù)對稱軸的性質(zhì)以及折疊的特性可找出各邊的關系，在直角△EMD′與△AND′中，利用勾股定理可得出關于DM長度的一元二次方程，解方程即可得出結論；②當AB=D′B=8時，過點D′作MN⊥AB于點N，MN交CD于點M，設DE=a，則D′E=a．根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD′=AD=5，根據(jù)勾股定理得到AN=$\frac{25}{16}$，D′N=$\frac{5\sqrt{231}}{16}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結論．

解答 解：①當AD′=D′B=5時，過點D′作MN⊥AB于點N，MN交CD于點M，如圖1所示．
設DE=a，則D′E=a．
∵將∠D沿折痕AE折疊，使點D落在點D′處，
∴AN=DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=4，AD=AD′=5，
由勾股定理可知：
ND′=$\sqrt{AD{′}^{2}-A{N}^{2}}$=3，
∴MD′=MN-ND′=AD-ND′=2，EM=DM-DE=4-a，
∵ED′²=EM²+MD′²，即a²=（4-a）²+4，
解得：a=$\frac{5}{2}$；
②當AB=D′B=8時，過點D′作MN⊥AB于點N，MN交CD于點M，如圖2所示．
設DE=a，則D′E=a．
∵將∠D沿折痕AE折疊，使點D落在點D′處，
∴AD′=AD=5，
∴AD′²-AN²=BD′²-BN²，
即5²-AN²=8²-（8-AN）²，
∴AN=$\frac{25}{16}$，
∴BN=$\frac{103}{16}$，
∴D′N=$\frac{5\sqrt{231}}{16}$，
∵∠MED′+∠ED′M=∠ED′M+∠AD′N=90°，
∴∠MED′=∠AD′N，
∴△EMD′∽△AD′N，
∴$\frac{EM}{D′N}=\frac{ED′}{AD′}$，
即$\frac{\frac{25}{16}-a}{\frac{5\sqrt{231}}{16}}$=$\frac{a}{5}$，
∴a=16-$\sqrt{231}$，
∴當△AD′B為等腰三角形時，則DE的長為$\frac{5}{2}$或16-$\sqrt{231}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$或16-$\sqrt{231}$．

點評 本題考查了翻轉變換、軸對稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關鍵是找出關于DM長度的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，但在做題過程中容易丟失一種情況，解決該題型題目時，結合勾股定理列出方程是關鍵．