Question

18．已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直線與AB的延長線交于點(diǎn)P．
（1）如圖①，若∠COB=2∠PCB，求證：直線PC是⊙O的切線；
（2）如圖②，若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，MN•MC=36，求BM的值．

Answer 1

分析 （1）利用半徑OA=OC可得∠COB=2∠A，然后利用∠COB=2∠PCB即可證得結(jié)論，再根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；
（2）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BAM，進(jìn)而可得△AMC∽△NMA，故AM²=MC•MN；等量代換可得MN•MC=BM²=AM²，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
∴∠COB=2∠ACO．
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：連接MA、MB．（如圖）
∵點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠ACM=∠BAM．
∵∠AMC=∠AMN，
∴△AMC∽△NMA．
∴$\frac{AM}{NM}=\frac{CM}{AM}$．
∴AM²=MC•MN．
∵M(jìn)C•MN=36，
∴AM=6，
∴BM=AM=6．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的切線的判定及圓周角定理的運(yùn)用和相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，是一道綜合性的題目，難度中等偏上．