Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是直線(xiàn)AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直線(xiàn)AC于F．

（1）點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，請(qǐng)證明：BD＝AB﹣AF；

（2）試探索：點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)或反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出圖形，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出正確結(jié)論（不需要證明）．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）結(jié)論不成立

【解析】

（1）易證∠FBA=∠FCE，結(jié)合條件容易證到△FAB≌△DAC，從而有FA=DA，就可得到AB=AD+BD=FA+BD．

（2）由于點(diǎn)D的位置在變化，因此線(xiàn)段AF、BD、AB之間的大小關(guān)系也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化，只需畫(huà)出圖象并借鑒（1）中的證明思路就可解決問(wèn)題．

（1）證明∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，

∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°，

∴∠FBA=∠FCE，

∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，

∴∠FAB=∠DAC，

在△FAB和△DAC中，，

∴△FAB≌△DAC（ASA），

∴FA=DA，

∴AB=AD+BD=FA+BD，

∴BD=AB-AF；

（2）解：（1）中的結(jié)論不成立．

點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AB=AF-BD；點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AB=BD-AF．

理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2．

同理可得：FA=DA．

則AB=AD-BD=AF-BD．

②點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3．

同理可得：FA=DA．

則AB=BD-AD=BD-AF．