Question

【題目】如圖，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D在邊AB上運動，DE平分∠CDB交邊BC于點E，EM⊥BD于M，EN⊥DC于N．

(1)當(dāng)AD＝CD時，求證DE//AC；

(2)當(dāng)∠MBE與△CNE的某一個內(nèi)角相等時，求AD的長；

(3)當(dāng)四邊形MEND與△BDE的面積相等時，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或；（3）

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠DCA，由三角形的外角性質(zhì)和角平分線得出得出∠C=∠BDE，即可得出結(jié)論；（2）存在以下兩種情況①當(dāng)∠B=∠ECN時；②當(dāng)∠B=∠CNE時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得；（3）根據(jù)四邊形MEND與△BDE的面積相等，得到△DME與△BME的面積相等．證明△BME∽△BCA，△CDE∽△CBD，即可解答．

試題解析：

（1）證明：∵AD＝CD，　　

∴∠A＝∠ACD．　　　

∵∠CDB＝∠A＋∠ACD，

∴∠CDB＝2∠A．　　　

∵DE平分∠CDB，

∴∠BDE＝∠CDB＝∠A．

∴DE∥AC．　　　　　

（2）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝5．　　　　

∵EM⊥BD，EN⊥CD，

∴∠BME＝∠CNE＝90°．

存在以下兩種情況

①當(dāng)∠B＝∠ECN時

∴CD＝BD，

∵∠B＋∠A＝90°，∠ECN＋∠ACD＝90°，

∴∠A＝∠ACD．

∴CD＝AD．

∴AD＝BD＝．

②當(dāng)∠B＝∠CNE時

∴NE∥AB．

∴∠ADC＝∠CNE＝90°．

∴∠ADC＝∠ACB．　　

∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴．

∴．

（3）∵∠EDN＝∠EDM，∠DNE＝∠DME＝90°，DE＝DE，

∴△DNE≌△DME．

∵四邊形MEND與△BDE的面積相等，

∴△DME與△BME的面積相等．

∴DM＝BM．　　

∵EM⊥BD，

∴DE＝BE．

∴∠B＝∠BDE＝∠CDE．

∵∠B＝∠B，∠BME＝∠ACB＝90°，

∴△BME∽△BCA．

∴．

∴．

∵∠DCE＝∠DCB，

∴△CDE∽△CBD．

∴．

∴CD＝．　　　　　　

∴CE＝．

∴BD＝．

∴BE＝．

∴AD＝AB-BD=5-=．