Question

1．觀察下列各式：$1×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；…，…，
（1）猜想它的規(guī)律，把$\frac{1}{n（n+1）}$表示出來
（2）用你得到的規(guī)律，計算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+\frac{1}{n（n+1）}$，并求出當n=24時代數(shù)式的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題中規(guī)律寫出即可；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，分別把每個分數(shù)的分母變形，變成積的形式，得出相應的分數(shù)差，發(fā)現(xiàn)有若干個互為相反數(shù)的和，由此得出結論，并代入求值．

解答 解：（1）$\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+\frac{1}{n（n+1）}$，
=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$，
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
當n=24時，原式=1-$\frac{1}{24+1}$=$\frac{24}{25}$．

點評 本題是數(shù)字類的變化題，除了數(shù)字類的規(guī)律外，還考查了有理數(shù)中分數(shù)的加減法，本題不能按法則計算，把異分母分數(shù)化成同分母分數(shù)，會很麻煩，數(shù)較大，因此利用規(guī)律拆項后，化成了互為相反數(shù)的和，簡化了計算．