精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
13.如圖(a),已知點B(0,6),點C為x軸上一動點,連接BC,△ODC和△EBC都是等邊三角形.
(1)求證:BO=DE.
(2)如圖(b),當點D恰好落在BC上時,
①求OC的長及點E的坐標;
②在x軸上是否存在點P,使得△PEC為等腰三角形?若存在,寫出點P的坐標;如不存在,說明理由.
③如圖(c),點M是線段BC上的動點(點B,C除外),過點M作MG⊥BE于點G,MH⊥CE于點H,當點M運動時,MH+MG的值是否發(fā)生變化?如不會變化,直接寫出MH+MG的值;如會變化,簡要說明理由.

分析 (1)根據等邊三角形的性質得到BC=CE,OC=CD,∠OCD=∠BCE=60°,求得∠OCB=∠DCE,根據全等三角形的性質即可得到結論;
(2)①由點B(0,6),得到OB=6,根據全等三角形的性質得到∠CDE=∠BOC=90°,根據等邊三角形的性質得到∠DEC=30°,求得CE=4$\sqrt{3}$,過E作EF⊥x軸于F,角三角形即可得到結論;②存在,如圖d,當CE=CP=4$\sqrt{3}$時,當CE=PE,根據等腰三角形的性質即可得到結論;③不會變化,如圖c,連接EM,根據三角形的面積公式即可得到結論.

解答 解:(1)∵△ODC和△EBC都是等邊三角形,
∴BC=CE,OC=CD,∠OCD=∠BCE=60°,
∴∠OCB=∠DCE,
在△BCO與△ECD中,$\left\{\begin{array}{l}{BC=CE}\\{∠OCB=∠DCE}\\{OC=CD}\end{array}\right.$,
∴△BCO≌△ECD,
∴BC=CE;

(2)①∵點B(0,6),
∴OB=6,
由(1)知△BCO≌△ECD,
∴∠CDE=∠BOC=90°,
∴DE⊥BC,
∵△EBC是等邊三角形,
∴∠DEC=30°,
∴∠OBC=∠DEC=30°,
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=2$\sqrt{3}$,BC=4$\sqrt{3}$,
∴CE=4$\sqrt{3}$,
過E作EF⊥x軸于F,
∵∠DCO=∠BCE=60°,
∴∠ECF=60°,
∵CE=BC=4$\sqrt{3}$,
∴CF=2$\sqrt{3}$,EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=6,
∴E(4$\sqrt{3}$,6);
②存在,如圖d,當CE=CP=4$\sqrt{3}$時,
∵OC=2$\sqrt{3}$,
∴OP1=2$\sqrt{3}$,OP2=6$\sqrt{3}$,
∴P1(-2$\sqrt{3}$,0),P2(6$\sqrt{3}$,0);
當CE=PE,
∵∠ECP=60°,
∴△CPE是等邊三角形,
∴P2,P3重合,
∴當△PEC為等腰三角形時,P(-2$\sqrt{3}$,0),或(6$\sqrt{3}$,0);
③不會變化,如圖c,連接EM,
∵S△BCE=$\frac{1}{2}$BC•DE=$\frac{1}{2}$BE•GM+$\frac{1}{2}$CE•MN,
∵BC=CE=BE,
∴GM+MN=DE=6,
∴MN+MG的值不會發(fā)生變化.

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質,等邊三角形的判定和性質,等腰三角形的判定,三角形面積的計算,熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:選擇題

3.將拋物線y=-x2向左平移2個單位,再向下平移1個單位,所得拋物線為( 。
A.y=-(x-2)2-1B.y=-(x-2)2+1C.y=-(x+2)2+1D.y=-(x+2)2-1

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:選擇題

4.解方程組$\left\{\begin{array}{l}{ax+by=2}\\{cx-7y=8}\end{array}\right.$時,正確的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-2}\end{array}\right.$,由于看錯了系數c得到的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$,則a+b+c的值是(  )
A.5B.6C.7D.無法確定

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:填空題

1.如圖,將一塊邊長為12的正方形紙片ABCD的頂點A折疊至DC邊上的點E,使DE=5,折痕為PQ,則PQ的長為13.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:填空題

8.如圖,在正方形ABCD中,點E、F分別在BC、CD上,且BE=DF,若∠EAF=30°,則sin∠EDF=$\frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{7+2\sqrt{3}}}{\sqrt{37}}$.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:選擇題

18.如圖,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( 。
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:選擇題

5.如圖,在直線AC的同側有Rt△ABD和Rt△BCE,已知∠ABD=∠C=90°,∠A=45°,∠E=30°,若將△ABD繞點B按順時針方向旋轉,當AD∥BC時,旋轉的角度是( 。
A.30°B.45°C.60°D.90°

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:選擇題

2.代數式$\sqrt{1-x}$有意義,則x的取值范圍是( 。
A.x>1,且x≠0B.x≥1C.x≠1D.x≤1

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:填空題

3.如圖,AB∥CD,∠C=20°,∠E=25°.則∠A=45°.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案