Question

13．如圖（a），已知點B（0，6），點C為x軸上一動點，連接BC，△ODC和△EBC都是等邊三角形．
（1）求證：BO=DE．
（2）如圖（b），當點D恰好落在BC上時，
①求OC的長及點E的坐標；
②在x軸上是否存在點P，使得△PEC為等腰三角形？若存在，寫出點P的坐標；如不存在，說明理由．
③如圖（c），點M是線段BC上的動點（點B，C除外），過點M作MG⊥BE于點G，MH⊥CE于點H，當點M運動時，MH+MG的值是否發(fā)生變化？如不會變化，直接寫出MH+MG的值；如會變化，簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）①由點B（0，6），得到OB=6，根據全等三角形的性質得到∠CDE=∠BOC=90°，根據等邊三角形的性質得到∠DEC=30°，求得CE=4$\sqrt{3}$，過E作EF⊥x軸于F，角三角形即可得到結論；②存在，如圖d，當CE=CP=4$\sqrt{3}$時，當CE=PE，根據等腰三角形的性質即可得到結論；③不會變化，如圖c，連接EM，根據三角形的面積公式即可得到結論．

解答 解：（1）∵△ODC和△EBC都是等邊三角形，
∴BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，
∴∠OCB=∠DCE，
在△BCO與△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CE}\\{∠OCB=∠DCE}\\{OC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△ECD，
∴BC=CE；

（2）①∵點B（0，6），
∴OB=6，
由（1）知△BCO≌△ECD，
∴∠CDE=∠BOC=90°，
∴DE⊥BC，
∵△EBC是等邊三角形，
∴∠DEC=30°，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=2$\sqrt{3}$，BC=4$\sqrt{3}$，
∴CE=4$\sqrt{3}$，
過E作EF⊥x軸于F，
∵∠DCO=∠BCE=60°，
∴∠ECF=60°，
∵CE=BC=4$\sqrt{3}$，
∴CF=2$\sqrt{3}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=6，
∴E（4$\sqrt{3}$，6）；
②存在，如圖d，當CE=CP=4$\sqrt{3}$時，
∵OC=2$\sqrt{3}$，
∴OP₁=2$\sqrt{3}$，OP₂=6$\sqrt{3}$，
∴P₁（-2$\sqrt{3}$，0），P₂（6$\sqrt{3}$，0）；
當CE=PE，
∵∠ECP=60°，
∴△CPE是等邊三角形，
∴P₂，P₃重合，
∴當△PEC為等腰三角形時，P（-2$\sqrt{3}$，0），或（6$\sqrt{3}$，0）；
③不會變化，如圖c，連接EM，
∵S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC•DE=$\frac{1}{2}$BE•GM+$\frac{1}{2}$CE•MN，
∵BC=CE=BE，
∴GM+MN=DE=6，
∴MN+MG的值不會發(fā)生變化．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，三角形面積的計算，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．