Question

【題目】某商店計劃一次購進兩種型號的手機共110部，銷售一部A型手機比銷售一部B型手機獲得的利潤多50元，銷售相同數(shù)量的A型手機和B型手機獲得的利潤分別為3000元和2000元，其中A型手機的進貨量不超過B型手機的2倍，且商店最多購進B型手機50臺．

（1）求每部A型手機和B型手機的銷售利潤分別為多少元？

（2）設(shè)購進B型手機n部，銷售手機的總利潤為y元，怎么進貨才能使銷售總利潤最大？

（3）實際進貨時，廠家對B型手機出廠價下調(diào)m（30＜m＜70）元．若商店保持兩種手機的售價不變，請設(shè)計出手機銷售總利潤最大的進貨方案．

Answer 1

【答案】（1）每部A型手機的銷售利潤為150元，每部B型手機的銷售利潤為100元；

（2）購進A型手機73部、B型手機37部時，才能使銷售總利潤最大；

（3）購進A型手機60部、B型手機50部時銷售總利潤最大．

【解析】

（1）設(shè)每部A型手機的銷售利潤為x元，每部B型手機的銷售利潤為y元，根據(jù)題意列出方程組求解；
（2）據(jù)題意得，y=A型手機的利潤+B型手機的利潤=-50n+16500，利用不等式求出n的范圍，又因為y=-50x+16500是單調(diào)遞減函數(shù)，所以n取37，y取最大值；
（3）據(jù)題意得，y=150（110-n）+（100+m）n，即y=（m-50）n+16500，分三種情況討論，①當(dāng)30＜m＜50時，y隨n的增大而減小，②m=50時，m-50=0，y=16500，③當(dāng)50＜m＜70時，m-50＞0，y隨x的增大而增大，分別進行求解．

解：（1）設(shè)每部A型手機的銷售利潤為x元，每部B型手機的銷售利潤為y元，

根據(jù)題意，得： ，

解得： ，

答：每部A型手機的銷售利潤為150元，每部B型手機的銷售利潤為100元；

（2）設(shè)購進B型手機n部，則購進A型手機（110﹣n）部，

則y＝150（110﹣n）+100n＝﹣50n+16500，

其中，，即，

∴y關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣50n+16500 （）；

∵，

∴一次函數(shù)y隨n的增大而減小，

∵，且n為整數(shù)，

∴當(dāng)n＝37時，y取得最大值，最大值為（元），

∴（臺）

答：購進A型手機73部、B型手機37部時，才能使銷售總利潤最大；

（3）設(shè)購進B型手機n部，則購進A型手機（110﹣n）部，

根據(jù)題意，得：，

其中，（n為整數(shù)），

①當(dāng)30＜m＜50時，y隨n的增大而減小，

∴當(dāng)n＝37時，y取得最大值，

即購進A型手機73部、B型手機37部時銷售總利潤最大；

②當(dāng)m＝50時，m﹣50＝0，y＝16500，

即商店購進B型電腦數(shù)量滿足的整數(shù)時，均獲得最大利潤；

③當(dāng)50＜m＜70時，y隨n的增大而增大，

∴當(dāng)n＝50時，y取得最大值，

即購進A型手機60部、B型手機50部時銷售總利潤最大．