Question

1．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：①△AED≌△AEF；②△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；③BE²+DC²=DE²；④BE+DC=DE，其中正確的是①②③（只填序號）

Answer 1

分析 首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠FAD=90°，DC=BF，∠FBE=90°，AD=AF，而∠DAE=45°，即可利用SAS判定△AED≌△AEF；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得△AFB≌△ADC，又由S_△ABC=S_△ABD+S_△ADC，S_{四邊形AFBD}=S_△ABD+S_△AFB，即可判定△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；由在Rt△BEF中，BE²+BF²=EF²，即可得BE²+DC²=DE²．

解答 解：∵△ADC繞點A順時針90°旋轉(zhuǎn)后，得到△AFB，
∴∠FAD=90°，DC=BF，∠FBE=90°，AD=AF，
∵∠DAE=45°，
∴∠EAF=90°-45°=45°，
在△AED和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠DAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AEF（SAS）；故①正確；
∵將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴S_△AFB=S_△ADC，
∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ADC，S_{四邊形AFBD}=S_△ABD+S_△AFB，
∴△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；故②正確；
∵△AED≌△AEF，
∴EF=ED，
在Rt△BEF中，BE²+BF²=EF²，
∴BE²+DC²=DE²．故③正確；④錯誤．
故答案為：①②③．

點評 此題屬于三角形的綜合題．考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．