Question

20．（1）問題
如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b．
填空：當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為a+b（用含a，b的式子表示）
（2）應(yīng)用
點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值．
（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90，請(qǐng)直接寫出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；
（3）連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2，BN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2$\sqrt{2}$+3；過P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，
∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，
故答案為：CB的延長(zhǎng)線上，a+b；

（2）①CD=BE，
理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD與△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD=BE；
②∵線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，
∴由（1）知，當(dāng)線段CD的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，
∴最大值為BD+BC=AB+BC=4；

（3）如圖1，連接BM，
∵將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM，
∵A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴線段AM長(zhǎng)的最大值=線段BN長(zhǎng)的最大值，
∴當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，
最大值=AB+AN，
∵AN=$\sqrt{2}$AP=2$\sqrt{2}$，
∴最大值為2$\sqrt{2}$+3；
如圖2，過P作PE⊥x軸于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=$\sqrt{2}$，
∴OE=BO-AB-AE=5-3-$\sqrt{2}$=2-$\sqrt{2}$，
∴P（2-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．注意等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．