Question

12．在△ABC中，以AB為斜邊，作直角△ABD，使點D落在△ABC內(nèi)，∠ADB=90°．

（1）如圖1，若AB=AC，∠BAD=30°，AD=6$\sqrt{3}$，點P、M分別為BC、AB邊的中點，連接PM，求線段PM的長；
（2）如圖2，若AB=AC，把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△ACE，連接ED并延長交BC于點P，求證：BP=CP
（3）如圖3，若AD=BD，過點D的直線交AC于點E，交BC于點F，EF⊥AC，且AE=EC，請直接寫出線段BF、FC、AD之間的關(guān)系（不需要證明）．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)求出AB，即可；
（2）先利用互余判斷出，∠BDP=∠PEC，得到△BDP和△CEQ，再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC，即可；
（3）利用線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，判斷出∠AFB=90°即可．

解答 （1）解：∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AD=6$\sqrt{3}$，
∴cos∠BAD=$\frac{AD}{AB}$，
∴AB=$\frac{AD}{cos∠BAD}$=$\frac{6\sqrt{3}}{cos30°}$=12，
∴AC=AB=12，
∵點P、M分別為BC、AB邊的中點，
∴PM=$\frac{1}{2}$AC=6，
（2）如圖2，

在ED上截取EQ=PD，
∵∠ADB=90°，
∴∠BDP+∠ADE=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=90°
∵∠AED+∠PEC=90°，
∴∠BDP=∠PEC，

在△BDP和△CEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=QE}\\{∠BDP=∠PEC}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDP≌△CEQ，
∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，
∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，
∴∠EPC=∠PQC，
∴PC=CQ，
∴BP=CP
（3）BF²+FC²=2AD²，
理由：如圖3，

連接AF，∵EF⊥AC，且AE=EC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
∵EF⊥AC，且AE=EC，
∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，
∵AD=BD，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠DAF=∠DCB，
∴∠DAF=∠DBC，
∴∠AFB=∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，DA=DB，
∴AB²=2AD²，
在Rt△ABF中，BF²+FA²=AB²=2AD²，
∵FA=FC
∴BF²+FC²=2AD²．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)的意義，同角或等角的余角相等，三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等以及等腰三角形的性質(zhì)，（1）利用三角形的中位線是解它的關(guān)鍵，（2）判斷∠BDP=∠PEC，是解它的關(guān)鍵，（3）線段垂直平分線的性質(zhì)是解它的關(guān)鍵，此題難度不大．