Question

16．已知點A（-1，1）在二次函數(shù)y=x²+mx+2n的圖象上．
（1）用含n的代數(shù)式表示m；
（2）如果二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，求這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標．

Answer 1

分析 （1）把點A的坐標代入函數(shù)解析式，列出含有m、n的等式，通過變形得到含m的代數(shù)式表示n．
（2）拋物線與x軸只有一個交點，則△=0，由此求得m、n的值；得出二次函數(shù)的解析式，然后分別求出二次函數(shù)圖象的頂點坐標即可．

解答 解：（1）∵點A（-1，1）在二次函數(shù)y=x²+mx+2n的圖象上，
∴1-m+2n=1，
∴m=2n；
（2）∵該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，
∴△=m²-8n=0．
∵由（1）知，m=2n，
∴4n²-8n=0，即4n（n-2）=0，
解得n=0或n=2，
∴m=0或m=4，
當n=0，m=0時，二次函數(shù)解析式為y=x²，頂點坐標為（0，0）；
當n=2，m=4時，二次函數(shù)解析式為y=x²+4x+4=（x+2）²，頂點坐標為（-2，0）；
綜上所述，如果二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（0，0）或（-2，0）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．求出n和m的值是解決問題（2）的關鍵．