Question

10．（1）如圖①，△ABC中，點(diǎn)D、E在邊BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）如圖②，若把（1）中的條件“AE⊥BC”變成“F為DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)E⊥BC”，其它條件不變，求∠DFE的度數(shù)；
（3）若把（1）中的條件“AE⊥BC”變成“F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)E⊥BC”，其它條件不變，請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并直接寫(xiě)出∠DFE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和求得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)∠DAE=∠BAE-∠BAD計(jì)算即可；
（2）先作AH⊥BC于H，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠DFE的度數(shù)；
（3）先作AH⊥BC于H，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠DFE的度數(shù)．

解答 解：（1）∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=55°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=55°-40°=15°；
（2）作AH⊥BC于H，如圖②，
由（1）可得∠DAH=15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE=∠DAH=15°；
（3）如圖③所示，∠DFE=15°．
理由：作AH⊥BC于H，
由（1）可得∠DAH=15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE=∠DAH=15°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)以及角平分線等，解題時(shí)可作輔助線，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解．此外，本題也可以不用作輔助線，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ADC后，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求∠F即可．