Question

19．已知：正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，邊AB的延長線上，且DE=BF．
（1）如圖1，連接CE，CF，EF，請判斷△CEF的形狀；
（2）如圖2，連接EF交BD于M，當(dāng)DE=2時(shí)，求AM的長；
（3）如圖3，點(diǎn)G，H分別在邊AB，邊CD上，且GH=3$\sqrt{5}$，當(dāng)EF與GH的夾角為45°時(shí)，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）△CEF是等腰直角三角形；證明△FBC≌△EDC即可得出結(jié)論，注意不要忽略直角；
（2）過E作EN∥AB，證明△FBM≌△ENM可知FM=EM，則AM是直角△AEF斜邊上的中線，要想求AM的長，求斜邊EF的長即可，利用勾股定理求EF；
（3）連接EC和FC，證明四邊形FCHG是平行四邊形，得出FC=GH=3$\sqrt{5}$，利用勾股定理求BF，則就是DE的長．

解答 解：（1）如圖1，△CEF是等腰直角三角形，理由是：
在正方形ABCD中，BC=DC，∠FBC=∠D=90°，
∵BF=DE，
∴△FBC≌△EDC，
∴CF=CE，∠ECD=∠FCB，
∴∠ECF=∠ECB+∠FCB=∠ECB+∠ECD=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形；
（2）如圖2，過E作EN∥AB，交BD于N，則EN=ED=2，
∵BN∥AD，
∴∠F=∠MEN，
∵∠BMN=∠EMN，
∴△FBM≌△ENM，
∴EM=FM，
在Rt△EAF中，EF=$\sqrt{{4}^{2}+（6+2）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{5}$；
（3）如圖3，連接EC和FC，
由（1）得∠EFC=45°，
∵∠EMH=45°，
∴∠EFC=∠EMH，
∴GH∥FC，
∵AF∥DC，
∴四邊形FCHG是平行四邊形，
∴FC=GH=3$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：BF=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}$=3，
∴DE=BF=3．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題，考查了正方形和平行四邊形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)建全等三角形得出邊相等和角相等，因此本題輔助線的作法是關(guān)鍵；故在幾何證明中，恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線可以把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題，使問題得以解決．