Question

18．如圖，已知一次函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0），y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象分別交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P為OQ的中點(diǎn)，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A是雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一動點(diǎn)，頂點(diǎn)B，C在雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上，且兩直角邊均與坐標(biāo)軸平行．
（1）直接寫出k的值；
（2）△ABC的面積是否變化？若不變，求出△ABC的面積；若變化，請說明理由；
（3）直線y=2x是否存在點(diǎn)D，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)P（m，$\frac{2}{m}$），Q（n，$\frac{k}{n}$），根據(jù)P為OQ的中點(diǎn)，即可得出m、n之間的關(guān)系，由此即可得出k值；
（2）△ABC的面積不變，設(shè)A（a，$\frac{8}{a}$）（a＞0），根據(jù)AB、AC與坐標(biāo)軸平行找出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，由此即可得出AB、AC，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，設(shè)A（a，$\frac{8}{a}$）（a＞0），則C（a，$\frac{2}{a}$），B（$\frac{a}{4}$，$\frac{8}{a}$）．以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形分別是以AB、AC、BC為對角線的平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)找出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D在直線y=2x上找出關(guān)于a的方程，解方程求出a值，將其代入A點(diǎn)坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上，點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴設(shè)點(diǎn)P（m，$\frac{2}{m}$），Q（n，$\frac{k}{n}$），
∵點(diǎn)P為OQ的中點(diǎn)，
∴n=2m，$\frac{k}{n}$=2•$\frac{2}{m}$，
∴k=8．
（2）△ABC的面積不變，
設(shè)A（a，$\frac{8}{a}$）（a＞0），則C（a，$\frac{2}{a}$），
令y=$\frac{2}{x}$中y=$\frac{8}{a}$，則x=$\frac{a}{4}$，
∴點(diǎn)B（$\frac{a}{4}$，$\frac{8}{a}$），
∴AB=a-$\frac{a}{4}$=$\frac{3a}{4}$，AC=$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$=$\frac{6}{a}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$•$\frac{3a}{4}$•$\frac{6}{a}$=$\frac{9}{4}$．
（3）假設(shè)存在，設(shè)A（a，$\frac{8}{a}$）（a＞0），則C（a，$\frac{2}{a}$），B（$\frac{a}{4}$，$\frac{8}{a}$）．
以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分三種情況：
①以AB為對角線，
則點(diǎn)D（a+$\frac{a}{4}$-a，$\frac{8}{a}$+$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$），即（$\frac{a}{4}$，$\frac{14}{a}$），
∵點(diǎn)D在y=2x上，
∴$\frac{14}{a}$=2•$\frac{a}{4}$，
解得：a=2$\sqrt{7}$或a=-2$\sqrt{7}$（舍去），
此時點(diǎn)A（2$\sqrt{7}$，$\frac{4\sqrt{7}}{7}$）；
②以AC為對角線，
則點(diǎn)D（a+a-$\frac{a}{4}$，$\frac{8}{a}$+$\frac{2}{a}$-$\frac{8}{a}$），即（$\frac{7a}{4}$，$\frac{2}{a}$），
∵點(diǎn)D在y=2x上，
∴$\frac{2}{a}$=2•$\frac{7a}{4}$，
解得：a=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$或a=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$（舍去），
此時點(diǎn)A（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，4$\sqrt{7}$）；
③以BC為對角線，
則點(diǎn)D（$\frac{a}{4}$+a-a，$\frac{8}{a}$+$\frac{2}{a}$-$\frac{8}{a}$），即（$\frac{a}{4}$，$\frac{2}{a}$），
∵點(diǎn)D在y=2x上，
∴$\frac{2}{a}$=2•$\frac{a}{4}$，
解得：a=2或a=-2（舍去），
此時點(diǎn)A（2，4）．
故直線y=2x存在點(diǎn)D，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2$\sqrt{7}$，$\frac{4\sqrt{7}}{7}$）、（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，4$\sqrt{7}$）或（2，4）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)P為OQ的中點(diǎn)找出m、n的關(guān)系；（2）求出S_△ABC為定值；（3）分別以AB、AC、BC為對角線找出點(diǎn)D的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)--對角線互相平分，由平行四邊形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)表示出第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．