Question

8．如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到長(zhǎng)方形CEFG，連接DG交EF于H連接AF交DG于點(diǎn)M，若AB=4，BC=1，則AM=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

Answer 1

分析 連結(jié)AC、CF．先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ACF是等腰直角三角形．在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{17}$，在Rt△CAF中，由勾股定理得出AF=$\sqrt{A{C}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{34}$．再證明△FHG是等腰直角三角形，得到FH=AD，證明△ADM≌△FHM，得出AM=FM=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

解答 解：如圖，連結(jié)AC、CF．
∵長(zhǎng)方形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到長(zhǎng)方形CEFG，
∴DC=GC，AC=FC，∠ACF=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形．
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=1，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴FC=AC=$\sqrt{17}$．
在Rt△CAF中，由勾股定理得，
AF=$\sqrt{A{C}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
∵DC=GC，∠DCG=90°，
∴∠DGC=45°，
∴∠FGH=90°-∠DGC=45°，
∴△FHG是等腰直角三角形，
∴FH=FG，
∵FG=AD，
∴FH=AD．
在△ADM與△FHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠FHM}\\{∠AMD=∠FMH}\\{AD=FH}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△FHM，
∴AM=FM，
∵AM+FM=AF=$\sqrt{34}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，正確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．