分析 作DM⊥BC于M,延長(zhǎng)BM到N使得MN=AE,由△DAE≌△DMN得∠ADE=∠MDN,DE=DN,進(jìn)而可以證明△CDE≌△CDN得EC=NC,由EC=AE+MC,設(shè)AE=x,則EB=18-x,BC=BM-CM=18-(15-x)=3+x,在RT△EBC中利用勾股定理即可解決.
解答 解:作DM⊥BC于M,延長(zhǎng)BM到N使得MN=AE.
∵∠A=∠B=∠DMB=90°
∴四邊形ABCD是矩形,
∵AD=AB=18,
∴四邊形ABCD是正方形,
∴AD=DM=BM,
∵AD=DM,∠A=∠DMN=90°,AE=MN,
∴△DAE≌△DMN,
∴∠ADE=∠MDN,DE=DN,
∵∠ADM=90°,∠EDC=45°,
∴∠ADE+∠CDM=45°,
∴∠CDM+∠MDN=45°,
∴∠CDN=∠CDE=45°,
∵CD=CD,∠CDN=∠CDE,DE=DN,
∴△CDE≌△CDN,
∴EC=NC,
∵AE=MN,
∴EC=AE+MC,
設(shè)AE=x,則EB=18-x,BC=BM-CM=18-(15-x)=3+x,
在RT△EBC中,∵EC2=EB2+BC2,
∴152=(18-x)2+(3+x)2,
∴x=6或9,
∴AE為6或9.
點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題型,主要考查了正方形的性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,通過(guò)輔助線構(gòu)造正方形,再利用旋轉(zhuǎn)的思想構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.
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