Question

12．如圖，直線y=-x-4與拋物線y=ax²+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，其中A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1和-4，且拋物線過原點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)P是線段AB上不與A，B重合的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥OA，與拋物線第三象限的部分交于一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，若S_△BGF=3S_△EFP，求$\frac{EF}{GF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可分別求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）當(dāng)AB=AC時(shí)，點(diǎn)C在y軸上，可表示出AC的長(zhǎng)度，可求得其坐標(biāo)；當(dāng)AB=BC時(shí)，可知點(diǎn)C在x軸上，可表示出BC的長(zhǎng)度，可求得其坐標(biāo)；當(dāng)AC=BC時(shí)點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處，可求得線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得垂直平分線的解析式，則可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作PQ⊥EF，交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，可證明△PQE∽△ODA，可求得EQ=3PQ，再結(jié)合F點(diǎn)在直線AB上，可求得FQ=PQ，則可求得EF=4PQ，利用三角形的面積的關(guān)系可求得GF與PQ的關(guān)系，則可求得比值．

解答 解：
（1）∵A，B兩點(diǎn)在直線y=-x-4上，且橫坐標(biāo)分別為-1、-4，
∴A（-1，-3），B（-4，0），
∵拋物線過原點(diǎn)，
∴c=0，
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{-3=a-b}\\{0=16a-4b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²+4x；
（2）∵△ABC為等腰三角形，
∴有AB=AC、AB=BC和CA=CB三種情況，
①當(dāng)AB=AC時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在y軸上，設(shè)C（0，y），
則AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{1+（y+3）^{2}}$，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{1+（y+3）^{2}}$，解得y=-3-$\sqrt{17}$或y=-3+$\sqrt{17}$，
∴C（0，-3-$\sqrt{17}$）或（0，-3-$\sqrt{17}$）；
當(dāng)點(diǎn)C在x軸上時(shí)，設(shè)C（x，0），則AC=$\sqrt{（x+1）^{2}+{3}^{2}}$，
∴$\sqrt{（x+1）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，解得x=-4或x=2，當(dāng)x=-4時(shí)，B、C重合，舍去，
∴C（2，0）；
②當(dāng)AB=BC時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上，設(shè)C（x，0），
則有AB=3$\sqrt{2}$，BC=|x+4|，
∴|x+4|=3$\sqrt{2}$，解得x=-4+3$\sqrt{2}$或x=-4-3$\sqrt{2}$，
∴C（-4+3$\sqrt{2}$，0）或（-4-3$\sqrt{2}$，0）；
當(dāng)點(diǎn)C在y軸上，設(shè)C（0，y），則BC=$\sqrt{{4}^{2}+{y}^{2}}$，
∴$\sqrt{{4}^{2}+{y}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，解得y=$\sqrt{2}$或y=-$\sqrt{2}$，
∴C（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）；
③當(dāng)CB=CA時(shí)，則點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)處，
∵A（-1，-3），B（-4，0），
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
設(shè)線段AB的垂直平分線的解析式為y=x+d，
∴-$\frac{3}{2}$=-$\frac{5}{2}$+d，解得d=1，
∴線段AB的垂直平分線的解析式為y=x+1，
令x=0可得y=1，令y=0可求得x=-1，
∴C（-1，0）或（0，1）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)C，其坐標(biāo)為（0，-3-$\sqrt{17}$）或（0，-3-$\sqrt{17}$）或（-4+3$\sqrt{2}$，0）或（-4-3$\sqrt{2}$，0）或（-1，0）或（0，1）或（2，0）或（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）；
（3）過點(diǎn)P作PQ⊥EF，交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵PE∥OA，GE∥AD，
∴∠OAD=∠PEG，∠PQE=∠ODA=90°，
∴△PQE∽△ODA，
∴$\frac{EQ}{PQ}$=$\frac{AD}{OD}$=3，即EQ=3PQ，
∵直線AB的解析式為y=-x-4，
∴∠ABO=45°=∠PFQ，
∴PQ=FQ，BG=GF，
∴EF=4PQ，
∴GE=GF+4PQ，
∵S_△BGF=3S_△EFP，
∴$\frac{1}{2}$GF²=3×$\frac{1}{2}×$4PQ²，
∴GF=2$\sqrt{3}$PQ，
∴$\frac{EF}{GF}$=$\frac{4PQ}{2\sqrt{3}PQ}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要涉及待定系數(shù)法、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、方程思想及分類討論思想．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中確定出C點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中構(gòu)造相似三角形求得EF、GF和PQ的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．