Question

【題目】如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，⊙O的半徑為2 個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P為直線y=﹣x+8上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD，切點(diǎn)分別為C、D，且PC⊥PD．
（1）試說明四邊形OCPD的形狀（要有證明過程）；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)
（3）若直線y=﹣x+8沿x軸向左平移得到一條新的直線y1=﹣x+b，此直線將⊙O的圓周分得兩段弧長(zhǎng)之比為1：3，請(qǐng)直接寫出b的值；
（4）若將⊙O沿x軸向右平移（圓心O始終保持在x軸上），試寫出當(dāng)⊙O與直線y=﹣x+8有交點(diǎn)時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形OCPD為正方形．理由如下：

連接OC、OD，如圖甲，

∵PC和PD為切線，

∴OC⊥PC，PD⊥PD，

而PC⊥PD，

∴∠OCP=∠ODP=∠CPD=90°，

∴四邊形OCPD為矩形，

而OC=OD，

∴四邊形OCPD為正方形.

（2）解：作PF⊥x軸于F，如圖甲，

∵四邊形OCPD為正方形，

∴OP= OD= 2 =2 ，

設(shè)P（t，﹣t+8），

∴t2+（﹣t+8）2=（2 ）2，解得t1=2，t2=6，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）或（6，2）

（3）解：如圖乙，

∵直線y1=﹣x+b將⊙O的圓周分得兩段弧長(zhǎng)之比為1：3，

即直線y1=﹣x+b將⊙O的圓周分得的劣弧為圓周的 ，

∵直線y1=﹣x+b與坐標(biāo)軸的夾角為45°，

∴直線y1=kx+b與坐標(biāo)的交點(diǎn)A和點(diǎn)B為⊙O與坐標(biāo)的交點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B都在坐標(biāo)軸的正半軸上時(shí)，b=2 ；當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B都在坐標(biāo)軸的負(fù)半軸上時(shí)，b=﹣2 ，

即b的值為±2

（4）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x+8=8，則A（0，8），

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x+8=0，解得x=8，則B（8，0），

∴OA=OB，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴∠ABO =45°，

當(dāng)圓移動(dòng)到點(diǎn)O′時(shí)與直線AB相切，作O′M⊥AB，如圖丙，則O′M=2 ，

∵∠MBO′=45°，

∴△O′BM為等腰直角三角形，

∴BO′= O′B=2 ，

∴OO′=8﹣2 ，

∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（8﹣2 ，0），

當(dāng)圓移動(dòng)到點(diǎn)O″時(shí)與直線AB相切，作O″N⊥AB，如圖丙，同理可得B O″=2 ，

∴OO′=8+2 ，

∴點(diǎn)O″的坐標(biāo)為（8+2 ，0），

∴當(dāng)⊙O與直線y=﹣x+8有交點(diǎn)時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍為8﹣2 ≤m≤8+2 ．

【解析】（1）四邊形OCPD為正方形．理由如下：連接OC、OD（如圖甲），根據(jù)切線性質(zhì)知OC⊥PC，PD⊥PD，結(jié)合已知條件得∠OCP=∠ODP=
∠CPD=90°，再由矩形判定得四邊形OCPD為矩形，又根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形即可得證.
（2）作PF⊥x軸于F（如圖甲），由正方形性質(zhì)知OP= OD=2 ，設(shè)P（t，﹣t+8），根據(jù)勾股定理得一個(gè)方程，解之即可得出P點(diǎn)坐標(biāo).
（3）如圖乙，由已知得直線y1=﹣x+b將⊙O的圓周分得的劣弧為圓周的 ，再分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B都在坐標(biāo)軸的正半軸上時(shí)，b=2 ；②當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B都在坐標(biāo)軸的負(fù)半軸上時(shí)，b=﹣2 ；從而得出答案.

（4）由直線解析式可知A（0，8），B（8，0），從而得出△OAB為等腰直角三角形，再分情況討論：①當(dāng)圓移動(dòng)到點(diǎn)O′時(shí)與直線AB相切，作O′M⊥AB（如圖丙），從而得△O′BM為等腰直角三角形，由等腰直角三角形性質(zhì)知BO′= O′B=2 ，從而得點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（8﹣2 ，0）；

②當(dāng)圓移動(dòng)到點(diǎn)O″時(shí)與直線AB相切，作O″N⊥AB（如圖丙），由等腰直角三角形性質(zhì)知B O″=2 ，從而得點(diǎn)O″的坐標(biāo)為（8+2 ，0），

從而得出答案.