Question

【題目】在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)，移動(dòng)的速度相同，與相交于點(diǎn).

(1)如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，求證：；

(2)如圖2，，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)度；

(3)如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn).在點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)，重合)移動(dòng)的過程中，線段與的長(zhǎng)度是否保持不變?nèi)舯３植蛔�，�?qǐng)求出與的長(zhǎng)度和；若改變，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)的長(zhǎng)度為；(3)與的長(zhǎng)度和保持不變，和為4.

【解析】

（1）由平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行等邊和等角轉(zhuǎn)換，即可判定；

（2）由（1）的結(jié)論和等邊三角形的性質(zhì)，通過等量轉(zhuǎn)換即可得解；

（3）首先過點(diǎn)作，由等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，即可求得與的長(zhǎng)度保持不變．

(1)∵點(diǎn)，同時(shí)移動(dòng)且移動(dòng)的速度相同，

，

，

又，

，，

，

，

.

與相交于點(diǎn)，

，

在和中，，

（AAS）；

(2)過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，如圖所示：

，，

是等邊三角形，

，

，

是等邊三角形，

.

是的中點(diǎn)，

，

.

由(1)易得，

，

，

的長(zhǎng)度為；

(3)保持不變；

過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，如圖所示：

由(1)易得，，

，是等腰三角形.

，

是的中線，

，

，

與的長(zhǎng)度和保持不變.