Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸正半軸上，OA=10，cos∠COA=．一個動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段OA方向運動，過點P作PQ⊥OA，交折線段OC﹣CB于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，點N在射線OA上，當P點到達A點時，運動結(jié)束．設(shè)點P的運動時間為t秒（t＞0）．

（1）C點的坐標為　　　　　　，當t=　　　　　　時N點與A點重合；

（2）在整個運動過程中，設(shè)正方形PQMN與菱形OABC的重合部分面積為S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；

（3）如圖2，在運動過程中，過點O和點B的直線將正方形PQMN分成了兩部分，請問是否存在某一時刻，使得被分成的兩部分中有一部分的面積是菱形面積的？若存在，請求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=時，N點與A點重合；（2）①，

②，

③，

④8＜t≤10，S=104﹣8t；

（3）①當0＜t≤6，，，，，

若，則，，

若，則，，

②當6＜t≤8，，，，，

若，則，t=0（舍），

若，則，t3=8；

③8＜t≤10，不存在符合條件的t值．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OA=OC，再根據(jù)三角函數(shù)求出點C的坐標即可；

（2）根據(jù)面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，注意動點運動時的幾種情況，得出自變量的取值范圍；

（3）根據(jù)被分成的兩部分中有一部分的面積是菱形面積的，畫出圖示，分幾種情況進行討論解答．

試題解析：（1）∵菱形OABC中，OA=10，

∴OC=10，

∵cos∠COA=，

∴點C的坐標為：（6，8），

∵動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段OA方向運動，

∵OA=10，

∴t=時，N點與A點重合；

（2）①，

②，

③，

④8＜t≤10，S=104﹣8t；

（3）S菱形=80，直線OB過原點（0，0），B點（16，8），故直線OB解析式為，

直線OB與PQ、MN分別交于E、F點，如圖：

①當0＜t≤6，，，，，

若，則，，

若，則，，

②當6＜t≤8，，，，，

若，則，t=0（舍），

若，則，t3=8；

③8＜t≤10，不存在符合條件的t值．