Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有如下定義：若直線(xiàn)l和圖形W相交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)的距離不小于定值k，則稱(chēng)直線(xiàn)l與圖形W成“k相關(guān)”，此時(shí)稱(chēng)直線(xiàn)與圖形W的相關(guān)系數(shù)為k．
（1）若圖形W是由A（-2，-1），B（-2，1），C（2，1），D（2，-1）順次連線(xiàn)而成的矩形：
①l₁：y=x+2，l₂：y=x+1，l₃：y=-x-3這三條直線(xiàn)中，與圖形W成“$\sqrt{2}$相關(guān)”的直線(xiàn)有l(wèi)₁和l₂；
②畫(huà)出一條經(jīng)過(guò)（0，1）的直線(xiàn)，使得這條直線(xiàn)與W成“$\sqrt{5}$相關(guān)”；
③若存在直線(xiàn)與圖形W成“2相關(guān)”，且該直線(xiàn)與直線(xiàn)y=$\sqrt{3}$x平行，與y 軸交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q縱坐標(biāo)y_Q的取值范圍；
（2）若圖形W為一個(gè)半徑為2的圓，其圓心K位于x軸上．若直線(xiàn)y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$與圖形 W成“3相關(guān)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出圓心K的橫坐標(biāo)x_K的取值范圍．

Answer 1

分析 （1））①如圖1中，畫(huà)出圖形，即可判斷直線(xiàn)l₁與l₂與圖形W成“$\sqrt{2}$相關(guān)”的直線(xiàn)．
②符合題意的直線(xiàn)如圖2中所示．夾在直線(xiàn)a和b或c和d之間的（含直線(xiàn)a，b，c，d）都是符合題意的．
③如圖3中，設(shè)符合題意的直線(xiàn)的解析式為 y=$\sqrt{3}$x+b，由題意可知符合題意的臨界直線(xiàn)分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，1），（1，-1）．分別代入可求出b₁=1+$\sqrt{3}$，b₂=-1-$\sqrt{3}$，由此即可解決問(wèn)題．
（2）如圖4中，⊙K與直線(xiàn)交于點(diǎn)A、B，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D（-3，0），作KC⊥AB于C．假設(shè)AB=3，求出DK，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）①如圖1中，直線(xiàn)l₁與l₂圖形W成“$\sqrt{2}$相關(guān)”的直線(xiàn)．

故答案為l₁和l₂．

②符合題意的直線(xiàn)如圖2中所示．夾在直線(xiàn)a和b或c和d之間的（含直線(xiàn)a，b，c，d）都是符合題意的．



③如圖3中，設(shè)符合題意的直線(xiàn)的解析式為 y=$\sqrt{3}$x+b，

 由題意可知符合題意的臨界直線(xiàn)分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，1），（1，-1）．
分別代入可求出b₁=1+$\sqrt{3}$，b₂=-1-$\sqrt{3}$，
∴-1-$\sqrt{3}$≤y_Q≤1+$\sqrt{3}$．

（2）如圖4中，⊙K與直線(xiàn)交于點(diǎn)A、B，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D（-3，0），作KC⊥AB于C．

在Rt△AKC中，∵AC=BC=$\frac{3}{2}$，KA=2，
∴CO=$\sqrt{K{A}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
在Rt△CDK，∵∠CDO=30°，
∴DK=2CO=$\sqrt{2}$，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)-3-$\sqrt{7}$≤x_K≤-3+$\sqrt{7}$時(shí)，若直線(xiàn)y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$與圖形 W成“3相關(guān)”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，理解題意是解題的關(guān)鍵，屬于中考創(chuàng)新題目．