Question

7．如果關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程x²-6x+8=0的兩個(gè)根是2和4，則方程x²-6x+8=0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x²-3x+c=0是“倍根方程”，則c=2；
（2）若（x-2）（mx-n）=0（m≠0）是“倍根方程”，求代數(shù)式4m²-5mn+n²的值；
（3）若關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程x²-3x+c=0是“倍根方程”，得到x₁+2x₁=3，2x₁²=c，即可得到結(jié)論；
（2）解方程（x-2）（mx+n）=0（m≠0）得，x₁=2，${x_2}=\frac{n}{m}$．2由方程兩根是2倍關(guān)系，得到x₂=1或43，代入解方程即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)“倍根方程”的概念得到原方程可以改寫為a（x-t）（x-2t）=06，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵一元二次方程x²-3x+c=0是“倍根方程”，
∵x₁+x₂=3，x₁x₂=c，即x₁+2x₁=3，2x₁²=c，
∴c=2，
故答案為：2；
（2）解方程（x-2）（mx-n）=0（m≠0）得，x₁=2，${x_2}=\frac{n}{m}$．
∵方程兩根是2倍關(guān)系，
∴x₂=1，
當(dāng)x₂=1時(shí)，${x_2}=\frac{n}{m}=1$，即m=n，
代入代數(shù)式4m²-5mn+n²=0，
當(dāng)x₂=4時(shí)，${x_2}=\frac{n}{m}=4$，即n=4m，
代入代數(shù)式4m²-5mn+n²=0．
綜上所述，4m²-5mn+n²=0；
（3）根據(jù)“倍根方程”的概念設(shè)一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根為t和2t．
∴原方程可以改寫為a（x-t）（x-2t）=0，
∴ax²+bx+c=ax²-3atx+2at²，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{b=-3at}\\{c=2a{t^2}}\end{array}}\right.$．
解得2b²-9ac=0．
∴a，b，c之間的關(guān)系是2b²-9ac=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．