Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、CD的中點(diǎn)，AM=1，AN=2，∠MAN=60°則AB的長(zhǎng)為____________.

Answer 1

【答案】

【解析】首先延長(zhǎng)DC和AM交于E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AN于點(diǎn)H，易證△ABM≌△ECM，則AM=EM=1，AN=2，且∠MAN=60°，求得AH，NH與EH的長(zhǎng)，從而求得NE的長(zhǎng)，則可求得答案.

解：（解法一）延長(zhǎng)DC和AM交于E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AN于點(diǎn)H，

∵ABCD為平行四邊形

∴AB∥CE，

∴∠BAM=∠MEC，∠ABM=∠ECM，

∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，

∴BM=MC，

∴△ABM≌△ECM，

∴AB=CD=CE，AM=EM=2，

∵N為DC的中點(diǎn)，

∴NE=3NC=AB，即AB=NE，

∵AN=2，AE=2AM=4，且∠MAN=60°，

∴∠AEH=30°，

∴AH=AE=2，

∴EH=，

∴NH=AH-AN=2-1=1，

∴EN=，

∴AB=.

解法二：延長(zhǎng)DC和AM交于E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出∠BAM=∠MEC，∠ABM=∠ECM，可證明△ABM≌△ECM，則AM=EM=2，由N為邊DC的中點(diǎn)，得NR=3NC=1.5AB，AB=NE，由余弦定理可解得EN，從而得出AB即可.

解：延長(zhǎng)DC和AM交于E，

∵ABCD為平行四邊形

∴AB∥CE，

∴∠BAM=∠MEC，∠ABM=∠ECM，

∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，

∴BM=MC，

∴△ABM≌△ECM，

∴AB=CD=CE，AM=EM=2，

∵N為DC的中點(diǎn)，

∴NE=3NC=1.5AB即AB=NE，

∵AN=2，AE=2AM=4，且∠MAN=60°，

由余弦定理EN2=AE2+AN2-2AE×ANcos60°=16+1-2×4×=13，

∴EN=,

∴AB=.

故答案為： .

“點(diǎn)睛”本題考查了平行線的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的中位線定理，是中考常見(jiàn)的題型，難度偏大.