Question

13．如圖，已知點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO交圓O于點(diǎn)C，OC=2，AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB．
（1）求證：OC=BC；
（2）當(dāng)PB的長是多少時(shí)，PB是⊙O的切線？寫出證明過程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理得OC平分劣弧AB，則劣弧AC和劣弧BC的度數(shù)為60°，則利用圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)得∠COB=60°，連接OB，如圖，易證得△OBC是等邊三角形，所以BC=OC；
（2）由△OBC是等邊三角形，則BC=OC=OB=2，∠BOP=60°，所以當(dāng)∠P=30°時(shí)，∠OBP=90°，則根據(jù)切線的判定定理可判斷此時(shí)PB是⊙O的切線，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到PB=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$，即當(dāng)PB=2$\sqrt{3}$時(shí)，PB是⊙O的切線．

解答 （1）證明：∵AB⊥OC，
∴OC平分劣弧AB，
∵劣弧AB的度數(shù)為120°，
∴劣弧AC和劣弧BC的度數(shù)為60°，
即∠COB=60°，
連接OB，如圖，
∵OC=OB，∠COB=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC=OC；
（2）當(dāng)PB=2$\sqrt{3}$時(shí)，PB是⊙O的切線． 
證明如下：∵△OBC是等邊三角形，
∴BC=OC=OB=2，∠BOP=60°，
當(dāng)∠P=30°時(shí)，∠OBP=90°，
∴OB⊥PB，
∴此時(shí)PB是⊙O的切線，
∴PB=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$．．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．