Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD垂直平分OA，垂足為點M，連接并延長CO交⊙O于點E，分別連接DE，BE，DB，其中∠EDB=30°，∠CDE的平分線DN交CE于點G，交⊙O于點N，延長CE至點F，使FG=FD．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若⊙O半徑r為8，求線段DB，BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）線段DB，BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積是.

【解析】

（1）連接OD，分別求∠ODN=45°-30°=15°，和∠FDG=∠FGD=75°，相加可得結(jié)論；

（2）先證明DE∥AB，S△DOE=S△ODE，所以S陰影=S扇形ODE；根據(jù)扇形面積公式可得結(jié)論．

（1）證明：連接OD，

∵CD垂直平分OA，

∴OM=OA=OD，

∴∠ODC=30°，

∵CE為⊙O的直徑，

∴∠CDE=90°，

∵DN平分∠CDE，

∴∠CDN=45°，

∴∠ODN=45°﹣30°=15°，

∵OD=OC，

∴∠DCO=∠ODC=30°，

∴∠FGD=45°+30°=75°，

∵FD=FG，

∴∠FDG=∠FGD=75°，

∴∠ODF=∠ODN+∠FDG=15°+75°=90°，

∴DF是⊙O的切線；

（2）∵∠EDB=30°，

∴∠EOB=60°，

Rt△CDE中，∠DEC=60°，

∴∠DEC=∠EOB=60°，

∴DE∥AB，

∴S△DOE=S△ODE，

∴S陰影=S扇形ODE=.

答：線段DB，BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積是.