Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E，連接BD．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若$\frac{BD}{DE}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，AD=4$\sqrt{5}$，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，欲證明DE是⊙O的切線，只要證明OD⊥DE即可．
（2）利用相似三角形的判定和性質(zhì)得出AB，利用勾股定理求出BD，進而解答即可．

解答 （1）證明：連接OD．
∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC．
∴∠ODA=∠DAC．
∴OD∥AE．
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線；
（2）∵OB是直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADB=∠E．
又∵∠BAD=∠DAC，
∴△ABD∽△ADE．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{DE}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
∴AB=10．
由勾股定理可知 $BD=2\sqrt{5}$．
連接DC，
∴$BD=DC=2\sqrt{5}$．
∵A，C，D，B四點共圓．
∴∠DCE=∠B．
∴△DCE∽△ABD．
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$．
∴CE=2．

點評 本題考查切線的判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是記住切線的判定方法，學(xué)會添加常用輔助線，屬于基礎(chǔ)題，中考�？碱}型．