Question

16．如圖，在平面直角坐標系中．直線y=-x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B，C兩點，與x軸負半軸交于點A，連結AC，tan∠CAB=3
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P（m，n）是拋物線上在第一象限內的一點，求四邊形OCPB面積S關于m的函數(shù)表達式及S的最大值；
（3）若M為拋物線的頂點，點Q在直線BC上，點N在直線BM上，Q，M，N三點構成以MN為底邊的等腰直角三角形，求點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)直線BC的解析式求出點B和C的坐標，再利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
（2）作高線PE，利用面積和求四邊形OCPB面積S，并配方成頂點式，求其最值；
（3）先將拋物線配方成頂點式求M（1，4），利用待定系數(shù)法求直線MB的解析式，利用解析式分別表示N、Q兩點的坐標；
分兩種情況：①當N在射線MB上時，如圖2，
過Q作EF∥y軸，分別過M、N作x軸的平行線，交EF于E、F，證明△EMQ≌△FQN，根據(jù)全等三角形的性質EM=FQ，EQ=FN，列方程組解出即可；
②當N在射線BM上時，如圖3，同理可求得點N的坐標．

解答 解：（1）當x=0時，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
當y=0時，-x+3=0，
x=3，
∴B（3，0），
在Rt△AOC中，tan∠CAB=3，
∴$\frac{OC}{OA}$=3，
∴$\frac{3}{OA}$=3，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），
a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；
（2）如圖1，過P作PE⊥x軸于E，
∵P（m，n），
∴OE=m，BE=3-m，PE=n，
S=S_梯形COEP+S_△PEB=$\frac{1}{2}$OE（PE+OC）+$\frac{1}{2}$BE•PE，
=$\frac{1}{2}$m（n+3）+$\frac{1}{2}$n（3-m），
=$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$n，
∵n=-m²+2m+3，
∴S=$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$（-m²+2m+3）=-$\frac{3}{2}{m}^{2}$+$\frac{9}{2}$m+$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
當m=$\frac{3}{2}$時，S有最大值是$\frac{63}{8}$；
（3）y=-x²+2x+3=-（x-1）2+4，
∴M（1，4），
設直線BM的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0），M（1，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線BM的解析式為：y=-2x+6，
設N（a，-2a+6），Q（n，-n+3），
分兩種情況：
①當N在射線MB上時，如圖2，
過Q作EF∥y軸，分別過M、N作x軸的平行線，交EF于E、F，
∵△EQN是等腰直角三角形，
∴MQ=QN，∠MQN=90°，
∴∠EQM+∠FQN=90°，
∵∠EQM+∠EMQ=90°，
∴∠FQN=∠EMQ，
∵∠QEM=∠QFN=90°，
∴△EMQ≌△FQN，
∴EM=FQ，EQ=FN，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-n=-n+3-（-2a+6）}\\{4-（-n+3）=a-n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
當a=2時，y=-2a+6=-2×2+6=2，
∴N（2，2），
②當N在射線BM上時，如圖3，
同理作輔助線，得△ENQ≌△FQM，
∴EN=FQ，EQ=FM，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-n+a=-n+3-4}\\{-2a+6-（-n+3）=-n+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴N（-1，8），
綜上所述，點N的坐標為（2，2）或（-1，8）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求解析式；還考查了二次函數(shù)的性質、全等三角形的性質和判定，注意根據(jù)解析式表示點的坐標，再由點的坐標表示線段的長，利用等量關系列方程或方程組求解．