Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長為 的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B在拋物線y=ax2+ax﹣2上．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
（2）拋物線的解析式為；
（3）設(shè)（2）中拋物線的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積；
（4）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（0，2）；（﹣3，1）
（2）y= x2+ x﹣2
（3）

解：由（2）中拋物線的解析式可知，拋物線的頂點(diǎn)D（﹣ ，﹣ ），

設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=kx+b，將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入得：

，

解得 ．

∴BD的關(guān)系式為y=﹣ x﹣ ．

設(shè)直線BD和x 軸交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E（﹣ ，0），CE= ．

∴S△DBC= × ×（1+ ）=

（4）

解：假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：

①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；

則延長BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，

過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90°，

∴△MP1C≌△FBC．

∴CM=CF=2，P1M=BF=1，

∴P1（1，﹣1）；

②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；

i）則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，

過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，

∴NP2=OA=2，AN=OC=1，

∴P2（2，1），

ii）若以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)．

過P3作P3G⊥y軸于G，

同理，△AGP3≌△CAO，

∴GP3=OA=2，AG=OC=1，

∴P3為（﹣2，3）．

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P1（1，﹣1）與點(diǎn)P2（2，1）都在拋物線y= x2+ x﹣2上，點(diǎn)P3（﹣2，3）不在拋物線上．

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（1，﹣1）與P2（2，1）．

【解析】解：（1）∵C（﹣1，0），AC= ，
∴OA= =2，
∴A（0，2）；
過點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，
在△AOC與△CFB中，
∵ ，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐標(biāo)為（﹣3，1），
故答案為：（0，2），（﹣3，1）；
·（2）∵把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得：
1=9a﹣3a﹣2，
解得a= ，
∴拋物線解析式為：y= x2+ x﹣2．
故答案為：y= x2+ x﹣2；
（1）先根據(jù)勾股定理求出OA的長，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出OE、BE的長即可求出B的坐標(biāo)；（2）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出a的值，即可求出拋物線的解析式；（3）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，然后求出CF的長，再根據(jù)S△DBC=S△CEB+S△CED進(jìn)行計(jì)算即可；（4）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長BC至點(diǎn)P1 ， 使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1 ， 過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出點(diǎn)P1點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2 ， 過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，由全等三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P2的坐標(biāo)；點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)代入拋物線的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
③以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再判斷點(diǎn)P不在拋物線上．