Question

【題目】如圖 1，將一張矩形紙片 ABCD 沿著對(duì)角線(xiàn) BD 向上折疊，頂點(diǎn) C 落到點(diǎn) E 處，BE交AD 于點(diǎn) F.

（1）求證：△BDF 是等腰三角形；

（2）如圖 2，過(guò)點(diǎn) D 作 DG∥BE，交 BC 于點(diǎn) G，連接 FG 交 BD 于點(diǎn) O．

①判斷四邊形 BFDG 的形狀，并說(shuō)明理由；

②若 AD=AB+2，BD=10，求四邊形 BFDG 的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①四邊形BFDG是菱形；理由見(jiàn)解析；②.

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠DBC＝∠DBE，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠DBC＝∠ADB，等量代換可得∠DBE＝∠ADB，問(wèn)題得證；

（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)及第一問(wèn)證得鄰邊相等可得四邊形BFDG是菱形；

②在△ABD中根據(jù)勾股定理列一元二次方程求出AB，然后在直角△ABF中設(shè)DF=BF＝x，利用勾股定理構(gòu)造方程求解，最后根據(jù)菱形面積公式計(jì)算即可．

解：（1）證明：如圖1，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠DBC＝∠DBE，

∵AD∥BC，

∴∠DBC＝∠ADB，

∴∠DBE＝∠ADB，

∴DF＝BF，

∴△BDF是等腰三角形；

（2）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

又∵DG∥BE，

∴四邊形BFDG是平行四邊形，

∵DF＝BF，

∴四邊形BFDG是菱形；

②由勾股定理得：AB2+AD2=BD2，即AB2+(AB+2)2=100，

解得：AB=6（負(fù)值已舍去），

∴AD=AB+2=8，

設(shè)DF＝BF＝x，則AF＝ADDF＝8x．

在直角△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋（8x）2＝x2，

解得x＝，

∴S四邊形 BFDG=．