Question

【題目】如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解:（1）

（2）存在P1（－1， ）、P2（1，6），P3（1， ）

（3）連OE設(shè)四邊形BOCE的面積為S，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）

∵E在第二象限　　　　　　　

∴3＜x＜0 －x2－2x＋3＞0

∵S＝S△BOE＋S△COE＝＋×3×（－×）

＝

∵－3＜x＜0

∴當(dāng)x＝－時(shí)，S最大為

此時(shí)，E（）

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）分CP=MP、CM=CP、CM=MP三種情況討論，（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（a，－－2a＋3）（－3＜a＜0），然后用a表示出四邊形BOCE面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最大值即可得到點(diǎn)E坐標(biāo)．

試題解析：解︰（1）由題知︰，解得︰

∴所求拋物線解析式為︰

（2）存在符合條件的點(diǎn)P，

其坐標(biāo)為P（－1，）或P（－1，－）或P（－1，6）或P（－1，）

（3）解法①：

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（a，－－2a＋3）（－3＜a＜0）

∴EF＝－－2a＋3，BF＝a＋3，OF＝－a

∴S四邊形BOCE＝BF·EF＋（OC＋EF）·OF

＝（a＋3）·（－－2a＋3）＋（－－2a＋6）·（－a）

＝＝－＋

∴當(dāng)a＝－時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為．

此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（－，）

解法②：

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（x，y）（－3＜x＜0）

則S四邊形BOCE＝（3＋y）·（－x）＋（3＋x）·y

＝（y－x）＝（）＝－＋

∴當(dāng)x＝－時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（－，）