Question

12．如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交AD于E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：∠DCP=∠DAP；
（2）如果PE=4，EF=5，求線段PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BDC=∠BDA，然后利用“邊角邊”證明△APD和△CPD全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可
（2）利用兩組角相等則兩三角形相似證明△APE與△FPA；根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例及全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在菱形ABCD中，AD=CD，∠BDC=∠BDA，
在△APD和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠BDC=∠CBD}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴∠DCP=∠DAP；
（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，
又∵∠FPA=∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
∴$\frac{AP}{PF}=\frac{PE}{PA}$．
∴PA²=PE•PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC．
∴PC²=PE•PF，
∵PE=4，EF=5，
∴PF=9，
∴PC=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，本題中依據(jù)三角形的全等或相似得出線段的相等或比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．