Question

3．如圖，在?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，對角線BD、AC交于點O．將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)分別交BC、AD于點E、F．
（1）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，AF與CE總保持相等；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時，判斷四邊形ABEF的形狀并證明；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，求出此時AC 繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的角度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，OA=OC，求出∠1=∠2，根據(jù)ASA推出△AOF≌△COE即可；
（2）求出BA∥EF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，即AF∥BE，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
（3）求出四邊形BEDF是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定得出即可；求出∠AOB，即可求出∠3，即可得出答案．

解答 解：（1）∵在□ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COEE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{OA=OC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；

（2）四邊形ABEF是平行四邊形，
由題意，∠AOF=90°，（如圖1），
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴BA∥EF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
∵BA∥EF，AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）當(dāng)EF⊥BD時，四邊形BEDF是菱形（如圖2），
∵AF=CE，AD∥BC，AD=BC，
∴FD∥BE；DF=BE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
又∵EF⊥BD，
∴口BEDF是菱形，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴BC²=AB²+AC²，
∵AB=1，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{B{C^2}+A{B^2}}$=2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠3=∠BOF-∠AOB=90°-45°=45°，
即旋轉(zhuǎn)角為45°．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵．