Question

【題目】如圖所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的紙片，點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，已知OA=3，OB＝4.將紙片的直角部分翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上，記為D點(diǎn)，AE為折痕，E在y軸上.

（1）在下圖所示的直角坐標(biāo)系中，求E點(diǎn)的坐標(biāo)及AE的長(zhǎng).

（2）線(xiàn)段AD上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、D重合）自A點(diǎn)沿AD方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向D點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<3），過(guò)P點(diǎn)作PM∥DE交AE于M點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AD交DE于N點(diǎn)，求四邊形PMND的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

（3）當(dāng)t（0<t<3）為何值時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形？并求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）E（0，），AE=；（2），當(dāng)t=時(shí)，S最大=；（3）當(dāng)t＝或秒時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，M（，）；M（3，）．

【解析】

（1）由折疊可知△AOE≌△ADE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，以及對(duì)應(yīng)角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，設(shè)出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可；

（2）根據(jù)兩組對(duì)邊互相平行得到四邊形MNDP為平行四邊形，又∠ADE為直角，所以MNDP為矩形，根據(jù)題意表示出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而得到PD的長(zhǎng)，又由平行得到兩對(duì)同位角相等，進(jìn)而得到△AMP∽△AED，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到比例式，將各自的值代入表示出PM的長(zhǎng)，由矩形的面積公式長(zhǎng)乘以寬和表示出的長(zhǎng)DP與寬PM，表示出矩形的面積，得到面積與t成二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)求最值的方法求出面積S的最大值及取得最大值時(shí)t的值即可；

（3）根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)有兩種情況滿(mǎn)足△ADM為等腰三角形，①當(dāng)MD=MA時(shí)，P為AD中點(diǎn)，由AD求出AP，進(jìn)而根據(jù)速度求出此時(shí)t的值，此時(shí)三角形AMD為等腰三角形，過(guò)M作MF垂直于x軸，根據(jù)“ASA”得到△APM≌△AFM，求出MF=MP，即為M的縱坐標(biāo)，求出FA，進(jìn)而求出OF的長(zhǎng)，即為M的橫坐標(biāo)，寫(xiě)出M的坐標(biāo)即可；②當(dāng)AD=AM=3時(shí)，由平行的兩對(duì)同位角相等，進(jìn)而得到△AMP∽△AED，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到比例式，求出AP的長(zhǎng)，由速度求出此時(shí)t的值，此時(shí)三角形AMD為等腰三角形，過(guò)M作MF垂直于x軸，根據(jù)“ASA”得到△APM≌△AFM，同理可得M的坐標(biāo)．

（1）據(jù)題意，△AOE≌△ADE，

∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，

在Rt△AOB中，AB＝＝5，

設(shè)DE=OE=x，在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得：BD2+DE2=BE2，

即22+x2=（4-x）2，解得x＝，∴E（0，）

在Rt△AOE中，AE＝；

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE=90°，

∴四邊形PMND是矩形，

∵AP=t×1=t，

∴PD=3-t，

∵△AMP∽△AED，

∴，

∴PM=，

∴S矩形PMND＝PMPD＝(3t)，

∴S矩形PMND＝t2+t或S矩形PMND＝ (t)2+，

當(dāng)t＝時(shí)，S最大＝；

（3）顯然DM≠AD，故等腰三角形有以下二種情況：

①當(dāng)MD=MA時(shí)，點(diǎn)P是AD中點(diǎn)，

∴AP＝，

∴t＝÷1＝（秒）

∴當(dāng)t＝時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，

過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OA于F，

∵△APM≌△AFM，

∴AF=AP=，MF=MP=＝，

∴OF=OA-AF=3-＝，

∴M（，）；

②當(dāng)AD=AM=3時(shí)，

∵△AMP∽△AED，

∴，

∴，

∴AP＝，

∴t＝÷1＝（秒）

∴當(dāng)t＝秒時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，

過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OA于F，

∵△AMF≌△AMP，

∴AF=AP=，FM=PM=＝，

∴OF=OA-AF=3-，

∴M（3，）．