Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點(點在點的左側)，與軸交于點連接點是第一象限內拋物線上的一個動點，點的橫坐標為，過點作軸，垂足為點交于點過點作交軸于點，交于點．

（1）求三點的坐標；

（2）試探究在點運動過程中，是否存在這樣的點使得以點為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）m是點的橫坐標，請用含的代數式表示線段的長，并求出為何值時有最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足條件的點坐標為和；（3）時，有最大值．

【解析】

（1）解方程得，計算自變量為0時的二次函數值得C點坐標；

（2）利用勾股定理計算出，利用待定系數法可求得直線關系式為則可設為，，討論：當時，；當時，有；當時，有然后分別解方程求出即可得到對應點P的坐標；

（3）過點作于點，由知是等腰直角三角形，可判斷為等腰直角三角形，則再證明得到，所以，于是得到，設，，則利用得到，然后利用二次函數的性質解決問題即可．

解：當時，有

解得，

所以

當時，有

所以．

存在．

由（1）易知，，

直線關系式為

設為，，

則①當時，

有

解得(不合，舍去)，

此時點為

②當時，有

解得(不合，舍去)，

此時點為

③當時，有

解得(不合，舍去)，

綜上所述，滿足條件的點坐標為和．

過點作于點，如圖，

則軸，

由知是等腰直角三角形，

，

為等腰直角三角形

，

又，

即

，

設，，

則

，

，

有最大值，

時，有最大值．