Question

20．如圖，△ABC的中線BE，CF相交于點G，P，Q分別是BG，CG的中點．
（1）求證：四邊形EFPQ是平行四邊形；
（2）請直接寫出BG與GE的數(shù)量關系：BG=2GE．（不要求證明）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BE，CF是△ABC的中線可得EF是△ABC的中位線，P，Q分別是BG，CG的中點可得PQ是△BCG的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可得EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，PQ∥BC且PQ=$\frac{1}{2}$BC，進而可得EF∥PQ且EF=PQ．根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結論；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質可得GE=GP，再根據(jù)P是BG的中點可得BG=2PG，利用等量代換可得答案．

解答 （1）證明：∵BE，CF是△ABC的中線，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC．
∵P，Q分別是BG，CG的中點，
∴PQ是△BCG的中位線，
∴PQ∥BC且PQ=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF∥PQ且EF=PQ．
∴四邊形EFPQ是平行四邊形． 
（2）解：BG=2GE．
∵四邊形EFPQ是平行四邊形，
∴GP=GE，
∵P是BG中點，
∴BG=2PG，
∴BG=2GE．
故答案為：BG=2GE．

點評 此題主要考查了三角形中位線定理，以及平行四邊形的判定與性質，關鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．