Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若BD=5，CD=3，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先以A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC、AB于H、F，再分別以H、F為圓心，大于$\frac{1}{2}$HF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M，再畫(huà)射線AM交CB于D；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，首先證明△ACD≌△AED可得AC=AE，CD=DE=3，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE²+BE²=BD²，進(jìn)而可得BE長(zhǎng)，然后再在Rt△ABC中，設(shè)AC=x，則AB=AE+BE=x+4，利用勾股定理可得x²+8²=（x+4）²，再解即可．

解答 解：（1）如圖：

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．則∠AED=∠BED=90°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD．
在△ACD和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}\\{∠ACD=∠AED}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（AAS）．
∴AC=AE，CD=DE=3．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE²+BE²=BD²．
∴BE²=BD²-DE²=5²-3²=16．
∴BE=4．
在Rt△ABC中，設(shè)AC=x，則AB=AE+BE=x+4．
由勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
∴x²+8²=（x+4）²．
解得：x=6，
即AC=6．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了基本作圖，以及勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是得到AC=AE，CD=DE，掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．