Question

11．等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC中點，點F為AC邊上一動點
（1）如圖1，若E為BF中點，連接DE，BF=13，AB=12，求DE的長度；
（2）如圖2，若F為AC中點，過A點作AG⊥BF垂足為點E，交BC于點G，取CG中點M，連接FM，F(xiàn)G，請判斷BF，F(xiàn)M，F(xiàn)G之間的數(shù)量關系并證明；
（3）當點F在AC上運動時，保持AG⊥BF垂足為點E，連接DE，∠DEG的度數(shù)會發(fā)生改變嗎？如果不變請直接寫出∠DEG的度數(shù)，如果改變請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=5，得出CF=AC-AF=7，證明DE是△BCF的中位線，由三角形中位線定理得出DE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{7}{2}$即可；
（2）由已知得出AF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，得出tan∠AFB=$\frac{AB}{AF}$=2，由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAE=∠AFB，得出tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=tan∠AFB=$\frac{AE}{EF}$=2，設EF=x，則AE=2x，BE=4x，BF=5x，證明FM是△ACG的中位線，由三角形中位線定理得出FM∥AG，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$AG，證出△BEG∽△BFM，得出$\frac{EG}{FM}=\frac{BE}{BF}$=$\frac{4}{5}$，設EG=4y，則FM=5y，由三角形中位線定理得出5y=$\frac{1}{2}$（2x+4y），解得：x=3y，得出BF=15y，與勾股定理求出FG=5y，即可得出結(jié)論；
（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABD=45°，∠ADB=90°=∠AEB，證出A、B、D、E四點共圓，由圓周角定理得出∠DEG=∠ABD=45°即可．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，BF=13，AB=AC=12，
∴AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=5，
∴CF=AC-AF=12-5=7，
∵D為BC中點，E為BF中點，
∴DE是△BCF的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{7}{2}$；
（2）FM+FG=$\frac{2}{3}$BF；理由如下：
∵F為AC中點，AB=AC，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴tan∠AFB=$\frac{AB}{AF}$=2，
∵AG⊥BF，∠BAC=90°，
∴∠AEB=90°，∠BAE=∠AFB，
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=tan∠AFB=$\frac{AE}{EF}$=2，
設EF=x，則AE=2x，BE=4x，
∴BF=5x，
∵F為AC中點，M為CG的中點，
∴FM是△ACG的中位線，
∴FM∥AG，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$AG，
∴△BEG∽△BFM，
∴$\frac{EG}{FM}=\frac{BE}{BF}$=$\frac{4}{5}$，
設EG=4y，則FM=5y，
∴5y=$\frac{1}{2}$（2x+4y），
解得：x=3y，
∴BF=15y，F(xiàn)G=$\sqrt{E{F}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{（3y）^{2}+（4y）^{2}}$=5y，
∴FM+FG=10y=$\frac{2}{3}$×15y，
∴FM+FG=$\frac{2}{3}$BF；
（3）∠DEG的度數(shù)不會發(fā)生改變；理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，D為BC中點，
∴AD⊥BC，∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°=∠AEB，
∴A、B、D、E四點共圓，
∴∠DEG=∠ABD=45°．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，運用勾股定理和證明三角形相似是解決問題的關鍵．