Question

8．如圖，△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=∠BCE=90°．點(diǎn)M為BC邊上一點(diǎn)，連接EM、BD交于點(diǎn)N，點(diǎn)N恰好是BD中點(diǎn)，連接AN．
（1）求證：MN=EN；
（2）連接AM、AE，請?zhí)骄緼N與EN的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．
①寫出AN與EM：位置關(guān)系A(chǔ)N⊥EM；數(shù)量關(guān)系A(chǔ)N=$\frac{1}{2}$EM；
②請證明上述結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由∠CED=∠BCE=90°，可證得BC∥DE，然后由點(diǎn)N恰好是BD中點(diǎn)，利用ASA可證得△BMN≌△DEN，繼而證得結(jié)論；
（2）首先連接AM，AE，由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，易證得△ABM≌△ACE，則可證得△AME是等腰直角三角形，繼而證得AN⊥EM，AN=$\frac{1}{2}$EM．

解答 （1）證明：∵∠CED=∠BCE=90°，
∴BC∥DE，
∴∠MBN=∠EDN，
∵點(diǎn)N恰好是BD中點(diǎn)，
∴BN=DN，
在△BMN和△DEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBN=∠EDN}\\{BN=DN}\\{∠BNM=∠DNE}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△DEN（ASA），
∴MN=EN；

（2）①位置關(guān)系：AN⊥EM，數(shù)量關(guān)系：AN=$\frac{1}{2}$EM．
故答案為：AN⊥EM，AN=$\frac{1}{2}$EM．

②證明：連接AM，AE，
∵△BMN≌△DEN，
∴BM=DE，
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠ABM=∠ACB=45°，DE=CE，
∴BM=CE，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ABM=∠ACE，
在△ABM和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACE}\\{BM=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACE（SAS），
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，
∴∠BAM+∠CAM=∠CAE+∠CAM，
即∠MAE=∠BAC=90°，
∵M(jìn)N=EN，
∴AN⊥EM，AN=$\frac{1}{2}$EM．

點(diǎn)評 此題屬于三角形的綜合題．考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．