Question

18．已知二次函數(shù)y=（x-m）²+n（m、n為常數(shù)）．
（1）若它的圖象是由二次函數(shù)y=x²的圖象先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，且交x軸于A、B兩點(diǎn)（A左B右），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
①m=1，n=-4，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）；
②連接BD、BC、CD，判斷△BCD的形狀，并證明你的結(jié)論；
③若點(diǎn)P在y軸上，且∠PBO+∠OCB=∠OBD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）已知n=1-m²，在自變量x的值滿足-2≤x≤1的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)平移規(guī)律得到m、n的值；由拋物線解析式來(lái)求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
②利用勾股定理的逆定理進(jìn)行證明；
③結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、等量代換推知∠PBO=∠CBD，通過(guò)銳角三角函數(shù)的定義來(lái)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）需要對(duì)m的取值范圍進(jìn)行分類討論，結(jié)合拋物線的增減性來(lái)求m的值．

解答 解：（1）①二次函數(shù)y=x²的圖象先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線解析式為：y=（x-1）²-4，即m=1，n=-4；
令x=0，則y=3，即C（0，-3）．
令y=0，則（x-1）²-4=0，則x=3或x=-1，結(jié)合函數(shù)圖象知，B（3，0）．
故答案是：1；-4；（3，0）；（0，-3）；

②△BCD為直角三角形，證明如下：
由拋物線解析式為：y=（x-1）²-4得到D（1，-4）．
∵B（3，0），C（0，-3）．
∴CD²=（1-0）²+（-4+3）²=2，BC²=3²+3²=18，BD²=（1-3）²+（-4-0）²=20，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD為直角三角形；

③∵B（3，0），C（0，-3）．
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠PBO+∠OCB=∠OBD，
∴∠PBO+∠OBC=∠OBC+∠CBD，
∴∠PBO=∠CBD，
∴tan∠PBO=tan∠CBD，即$\frac{OP}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，則OP=1，故P（0，±1）；

（2）∵n=1-m²，
∴y=（x-m）²+1-m²，
則對(duì)稱軸是x=m．
①當(dāng)m≤-2時(shí)，取x=-2時(shí)，y_最小值=（-2-m）²+1-m²=-2，
解得m=$-\frac{7}{4}$，舍去；
②當(dāng)-2≤m≤1時(shí)，取x=m時(shí)，y_最小值=（m-m）²+1-m²=-2，
解得，m₁=$-\sqrt{3}$，m₂=$\sqrt{3}$（舍去）；
③當(dāng)m≥1時(shí)，取x=1時(shí)，y_最小值=（1-m）²+1-m²=-2，
解得m=2．
綜上所述，m的值是-$\sqrt{3}$或2．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．