Question

【題目】已知O為直線AB上的一點(diǎn),∠COE是直角,OF平分∠AOE(圖中所說(shuō)的角都是小于平角的角).

(1)如圖1,若∠COF=28°,則∠BOE=______°；若∠COF=則∠BOE=_______；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為_________；

(2)將∠COE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí),(1)中∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由？若不成立，求出∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系；

(3)當(dāng)∠COE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí),(1)中∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立,請(qǐng)求出∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】(1) 56°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）成立，理由詳見(jiàn)解析；（3）∠BOE和∠COF的關(guān)系不成立，∠BOE和∠COF的關(guān)系為∠BOE＋2∠EOF＝360°，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）已知∠COF=28°，∠COE是直角，由此求得∠EOF=62°，再由OF平分∠AOE，根據(jù)角平分線的定義可得∠AOE=2∠EOF=124°，再由平角的定義即可求得∠BOE=56°；由∠COF=m°，∠COE是直角，可得∠EOF=90°-m°，已知OF平分∠AOE，由角平分線的定義可得∠AOE=2∠EOF=2（90°-m°），即可求得∠BOE=2m°，由此可得∠BOE=2∠COF；（2）成立，類比（1）的方法解答即可；（3）不成立，已知∠COE是直角，可得∠EOF＝∠COF－90°，已知OF平分∠AOE，由角平分線的可得∠AOE＝2∠EOF，再由平角的定義可得∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－2(∠COF－90°)＝360°－2∠COF，由此可得∠BOE＋2∠EOF＝360°.

（1）∵∠COF=28°，∠COE是直角，

∴∠EOF=90°-28°=62°，

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠EOF=124°，

∴∠BOE=180°-124°=56°，

∵∠COF=m°，∠COE是直角，

∴∠EOF=90°-m°，

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠EOF=2（90°-m°），

∴∠BOE=180°-2（90°-m°）=2m°，

∴∠BOE=2∠COF.

故答案是56°；2m°；∠BOE=2∠COF；

（2）∠BOE和∠COF的關(guān)系依然成立．

∵∠COE是直角，

∴∠EOF=90°-∠COF，

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠EOF，

∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-2（90°-∠COF）=2∠COF．

（3）∠BOE和∠COF的關(guān)系不成立．理由如下：

∵∠COE是直角，

∴∠EOF＝∠COF－90°，

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE＝2∠EOF，

∴∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－2(∠COF－90°)＝360°－2∠COF．

∴∠BOE＋2∠EOF＝360°.