Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度沿CA方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線，分別交⊙O于點(diǎn)M和點(diǎn)N，已知⊙O的半徑為 cm，AC=8cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求證：NQ=MQ；
（2）填空： ①當(dāng)t=時(shí)，四邊形AMQN為菱形；
②當(dāng)t=時(shí)，NQ與⊙O相切．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB⊥MN，

∴PM=PN

∴AB垂直平分MN，

∴NQ=MQ；

（2） ；2
【解析】（2）解：①AP=t，CQ=t，則PQ=8﹣t﹣t=8﹣2t，

∵AQ⊥MN，PM=PN，

∴當(dāng)AP=PQ時(shí)，四邊形AMQM為菱形，

即t=8﹣2t，解得t= ；②作OH⊥QN于H，如圖，

OQ=AC﹣AO﹣CQ=8﹣ ﹣t= ﹣t，OP=t﹣ ，

當(dāng)ON⊥QN時(shí)，QN為⊙O的切線，

∵∠NOQ=∠PON，

∴△ONP∽△OQN，

∴OP：ON=ON：OQ，

即（t﹣ ）： = ：（ ﹣t），

整理得t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6（舍去），

∴t=2時(shí)，NQ與⊙O相切