Question

【題目】已知：如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設(shè)點P的運動時間t(s)

解答下列各問題：

(1)求△ABC的面積

(2)當t為何值時，△PBQ是直角三角形?

(3)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm2)，求y與t的關(guān)系式；

(4)是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二?如果存在，求出t的值：不存在請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=2或4；（3），（4）不存在．

【解析】

（1）過點A作AD⊥BC，求出AD的長，利用三角形的面積公式進行解答即可；

（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP，BQ的表達式和∠B的度數(shù)進行求解即可．

（3）本題可先用△ABC的面積-△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積，即可得出y，t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）根據(jù)四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二，可得出一個關(guān)于t的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．

解：（1）過點A作AD⊥BC，則S△ABC=×BC×ABsin60°=×6×6×=；

（2）設(shè)經(jīng)過t秒△PBQ是直角三角形，

則AP=tcm，BQ=tcm，

△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，

∴BP=（6-t）cm，

△PBQ中，BP=（6-t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

當∠BQP=90°時，BQ=BP，

即t=（6-t），t=2（秒），

當∠BPQ=90°時，BP=BQ，

6-t=t，t=4（秒），

答：當t=2秒或t=4秒時，△PBQ是直角三角形．

（3）過P作PM⊥BC于M，

△BPM中，sin∠B=，

∴PM=PBsin∠B=（6-t），

∴S△PBQ=BQPM=t（6-t），

∴y=S△ABC-S△PBQ=-×t×（6-t）

=，

∴y與t的關(guān)系式為y=，

（4）假設(shè)存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二，

則S四邊形APQC=S△ABC，

∴，

∴t2-6t+12=0，

∵=36-48=-12<0，

∴不存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二．