Question

5．在?ABCD中，AB=2BC=4，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)
①求證：△ADE≌△CBF；
②若四邊形DEBF為菱形，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 ①欲證明△ADE≌△CBF，只要證明AD=BC，∠A=∠C，AE=CF即可．
②連接BD，根據(jù)S_{四邊形ABCD}=2S_△ABD，只要證明△ADB是直角三角形，求出AD、BD即可解決問題．

解答 ①證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∵AE=EB，DF=FC，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠A=∠C}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF，
②連接BD，
由①有AE=EB，
∵四邊形DEBF是菱形，
∴DE=EB=AE，
∴△ADB是直角三角形，
在RT△ADB中，∵∠ADB=90°，AD=BC=2，AB=4，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S_{平行四邊形ABCD}=2•S_△ADB=2×$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的面積、直角三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)三角形△ADB是等邊三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．